1. **Problem statement:** Löse die Gleichung $$(x - 10)^2 - x^2 = 10$$ durch Auflösen der Klammern, Vereinfachung und Äquivalenzumformungen. 2. **Formel und Regeln:** - Quadratische Ausdrücke werden mit der binomischen Formel aufgelöst: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ - Äquivalenzumformungen erlauben das Umformen der Gleichung, ohne die Lösungsmenge zu verändern. 3. **Klammern auflösen:** $$ (x - 10)^2 - x^2 = 10 $$ $$ x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 - x^2 = 10 $$ $$ x^2 - 20x + 100 - x^2 = 10 $$ 4. **Zwischenschritt mit Kürzung:** $$ \cancel{x^2} - 20x + 100 - \cancel{x^2} = 10 $$ 5. **Vereinfachung:** $$ -20x + 100 = 10 $$ 6. **Äquivalenzumformung: Subtrahiere 100 auf beiden Seiten:** $$ -20x + 100 - 100 = 10 - 100 $$ $$ -20x = -90 $$ 7. **Äquivalenzumformung: Teile durch -20:** $$ x = \frac{-90}{-20} $$ $$ x = \frac{90}{20} $$ 8. **Bruch kürzen:** $$ x = \frac{90 \div 10}{20 \div 10} = \frac{9}{2} $$ **Endergebnis:** $$ \boxed{x = \frac{9}{2}} $$