1. Löse die Gleichungen: a) Gegeben: $-2x + 3 = -5(x - 15)$ 1. Öffne die Klammer auf der rechten Seite: $-2x + 3 = -5x + 75$ 2. Bringe alle $x$-Terme auf eine Seite: $-2x + 5x = 75 - 3$ 3. Vereinfache: $3x = 72$ 4. Teile durch 3: $x = 24$ b) Gegeben: $-\frac{3}{x} + 22,5 = 19,5$ 1. Subtrahiere 22,5 von beiden Seiten: $-\frac{3}{x} = 19,5 - 22,5 = -3$ 2. Multipliziere beide Seiten mit $x$: $-3 = -3x$ 3. Teile durch $-3$: $1 = x$ c) Gegeben: $-x(-x + 1) = (-x)^2 - x$ 1. Multipliziere links aus: $-x \cdot -x + (-x) \cdot 1 = x^2 - x$ 2. Das ergibt: $x^2 - x = x^2 - x$ 3. Beide Seiten sind gleich, also ist die Gleichung für alle $x$ wahr. 2. Wende die binomischen Formeln an: a) $(5 - m)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot m + m^2 = 25 - 10m + m^2$ b) $(u + \frac{1}{2}w)^2 = u^2 + 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}w + (\frac{1}{2}w)^2 = u^2 + uw + \frac{1}{4}w^2$ c) $(12 - 2z)(12 + 2z) = 12^2 - (2z)^2 = 144 - 4z^2$ d) $b^2 + 4b + 4 = (b + 2)^2$ 3. Zeichne $\sqrt{5}$ mit der Wurzelschnecke (Beschreibung): 1. Beginne mit einem Einheitsquadrat (Seitenlänge 1). 2. Füge ein Quadrat mit Seitenlänge 1 an, sodass die Diagonale $\sqrt{2}$ ist. 3. Füge ein weiteres Quadrat mit Seitenlänge 1 an, sodass die neue Diagonale $\sqrt{3}$ ist. 4. Wiederhole bis zur Diagonale $\sqrt{5}$. 4. Zeichne Wurzeln mit geometrischen Figuren: a) $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ b) $\sqrt{85} = \sqrt{81 + 4} = 9.2195$ (ungefähr) 5. Berechne die Terme: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 50} = \sqrt{100} = 10$ b) $\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{288}{2}} = \sqrt{144} = 12$ 6. Vereinfache Terme: a) $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a$ b) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x^3} = \sqrt{x^{1+3}} = \sqrt{x^4} = x^2$ c) $\sqrt{4x} \cdot \sqrt{14y^2 x} = \sqrt{4x \cdot 14y^2 x} = \sqrt{56 x^2 y^2} = \sqrt{56} \cdot x \cdot y = 2 \sqrt{14} x y$ d) $\sqrt{0,6 x^2} \cdot \sqrt{0,6 x^2} = \sqrt{0,6^2 x^4} = 0,6 x^2$ e) $(\sqrt{4a} + \sqrt{3b})(\sqrt{4a} - \sqrt{3b}) = (\sqrt{4a})^2 - (\sqrt{3b})^2 = 4a - 3b$ f) $\sqrt{72 a^4 b^5} = \sqrt{72} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^5} = 6 \sqrt{2} \cdot a^2 \cdot b^2 \sqrt{b} = 6 a^2 b^2 \sqrt{2b}$