1. Aufgabe O4.4: Lösen Sie folgende Gleichungen mit maximaler Definitionsmenge. (a) $(s+1)(s-3) = (s+3)(s-1)$ 1. Multiplizieren Sie beide Seiten aus: $$s^2 - 3s + s - 3 = s^2 - s + 3s - 3$$ 2. Vereinfachen: $$s^2 - 2s - 3 = s^2 + 2s - 3$$ 3. Subtrahieren Sie $s^2$ und $-3$ von beiden Seiten: $$-2s = 2s$$ 4. Addieren Sie $2s$ zu beiden Seiten: $$0 = 4s$$ 5. Teilen Sie durch 4: $$s = 0$$ (b) $x^3 + 4x = 0$ 1. Faktorisiere $x$ aus: $$x(x^2 + 4) = 0$$ 2. Setze jeden Faktor gleich Null: $$x = 0$$ $$x^2 + 4 = 0$$ 3. Für $x^2 + 4 = 0$ gilt: $$x^2 = -4$$ Keine reelle Lösung, da $x^2$ nicht negativ sein kann. 4. Lösung: $$x = 0$$ (c) $x^2(x+1) = (x+1)(2x-1)$ 1. Definitionsmenge: Alle reellen Zahlen, außer $x = -1$ wenn wir durch $(x+1)$ teilen. 2. Wenn $x+1 \neq 0$, teilen wir durch $(x+1)$: $$x^2 = 2x - 1$$ 3. Bringe alle Terme auf eine Seite: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ 4. Faktorisieren: $$(x - 1)^2 = 0$$ 5. Lösung: $$x = 1$$ 6. Prüfen Sie $x = -1$ in der Originalgleichung: Links: $(-1)^2(0) = 0$ Rechts: $0 \cdot (2(-1) - 1) = 0$ Also ist $x = -1$ auch eine Lösung. 2. Aufgabe O4.5: Maximale Definitionsmenge und Gleichungen lösen. (a) $\sqrt{x-2} = 3$ 1. Definitionsmenge: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ 2. Quadriere beide Seiten: $$x - 2 = 9$$ 3. Löse nach $x$ auf: $$x = 11$$ 4. Prüfe $x=11$ in Definitionsmenge: $11 \geq 2$ stimmt. (b) $\sqrt{x-2} = -3$ 1. Definitionsmenge: $x \geq 2$ 2. Die Wurzel ist immer $\geq 0$, kann also nicht $-3$ sein. 3. Keine Lösung. (c) $|x+2| = 8$ 1. Definitionsmenge: Alle reellen Zahlen. 2. Setze $x+2 = 8$ oder $x+2 = -8$: $$x = 6$$ $$x = -10$$ (d) $\frac{4}{x-1} - \frac{3}{x+1} = \frac{9}{x^2 - 1}$ 1. Definitionsmenge: $x \neq 1$, $x \neq -1$ (Nenner darf nicht 0 sein). 2. Erkenne $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. 3. Multipliziere beide Seiten mit $(x-1)(x+1)$: $$4(x+1) - 3(x-1) = 9$$ 4. Ausmultiplizieren: $$4x + 4 - 3x + 3 = 9$$ 5. Vereinfachen: $$x + 7 = 9$$ 6. Löse nach $x$ auf: $$x = 2$$ 7. Prüfe Definitionsmenge: $2 \neq \pm 1$, gültig. 3. Aufgabe O4.6: Ungleichungen mit Definitionsmenge. (a) $\frac{x+1}{x-2} \geq 0$ 1. Definitionsmenge: $x \neq 2$ 2. Nullstellen Zähler: $x = -1$, Nenner: $x = 2$ 3. Testintervalle: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, \infty)$ 4. Werte einsetzen und Vorzeichen prüfen: - Für $x < -1$: Zähler negativ, Nenner negativ, Bruch positiv. - Für $-1 < x < 2$: Zähler positiv, Nenner negativ, Bruch negativ. - Für $x > 2$: Zähler positiv, Nenner positiv, Bruch positiv. 5. Lösung: $$(-\infty, -1] \cup (2, \infty)$$ (b) $2x + 5 \geq -3x - 7$ 1. Bringe alle Terme auf eine Seite: $$2x + 5 + 3x + 7 \geq 0$$ $$5x + 12 \geq 0$$ 2. Löse nach $x$ auf: $$5x \geq -12$$ $$x \geq -\frac{12}{5}$$ (c) $2\frac{x+3}{x+1} < 3$ 1. Definitionsmenge: $x \neq -1$ 2. Schreibe um: $$\frac{2(x+3)}{x+1} < 3$$ 3. Multipliziere beide Seiten mit $x+1$, beachte Vorzeichen: - Fall 1: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ $$2(x+3) < 3(x+1)$$ $$2x + 6 < 3x + 3$$ $$6 - 3 < 3x - 2x$$ $$3 < x$$ - Fall 2: $x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$ $$2(x+3) > 3(x+1)$$ $$2x + 6 > 3x + 3$$ $$6 - 3 > 3x - 2x$$ $$3 > x$$ 4. Lösung: $$x > -1 \text{ und } x > 3 \Rightarrow x > 3$$ $$x < -1 \text{ und } x < 3 \Rightarrow x < -1$$ (d) $|1 - 4x| < 1$ 1. Definition Betrag: $$-1 < 1 - 4x < 1$$ 2. Löse beide Ungleichungen: $$-1 < 1 - 4x \Rightarrow -2 < -4x \Rightarrow \frac{1}{2} > x$$ $$1 - 4x < 1 \Rightarrow -4x < 0 \Rightarrow x > 0$$ 3. Lösung: $$0 < x < \frac{1}{2}$$ 4. Aufgabe O4.7: Definitionsmenge und (Un-)Gleichungen lösen. (a) $2^x = 5$ 1. Definitionsmenge: Alle reellen Zahlen. 2. Löse mit Logarithmus: $$x = \log_2(5)$$ (b) $\log_x(2) = 3$ 1. Definitionsmenge: $x > 0$, $x \neq 1$ 2. Definition Logarithmus: $$x^3 = 2$$ 3. Löse nach $x$ auf: $$x = \sqrt[3]{2}$$ (c) $\log_{\frac{1}{2}}(x) > \log_{\frac{1}{2}}(1 - x)$ 1. Definitionsmenge: $x > 0$ und $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$ 2. Da Basis $\frac{1}{2} < 1$, ist Logarithmus streng monoton fallend. 3. Ungleichung umkehren: $$x < 1 - x$$ 4. Löse nach $x$ auf: $$2x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}$$ 5. Schnitt mit Definitionsmenge: $$0 < x < \frac{1}{2}$$