1. **Problemstellung:** Löse das lineare Gleichungssystem (I) 4 = 2x - y (II) y = ax + 4 für den Wert a = \frac{2}{5} grafisch. 2. **Formeln und Regeln:** - Um das Gleichungssystem zu lösen, setzen wir die beiden Gleichungen gleich, da beide y ausdrücken. - Wichtig: Bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen entspricht die Lösung dem Schnittpunkt der Geraden. 3. **Umformen der ersten Gleichung:** $$4 = 2x - y \implies y = 2x - 4$$ 4. **Setze y aus (II) gleich y aus (I):** $$ax + 4 = 2x - 4$$ 5. **Für a = \frac{2}{5} einsetzen:** $$\frac{2}{5}x + 4 = 2x - 4$$ 6. **Umstellen zur Lösung für x:** $$\frac{2}{5}x - 2x = -4 - 4$$ $$\frac{2}{5}x - \frac{10}{5}x = -8$$ $$\left(\frac{2}{5} - \frac{10}{5}\right)x = -8$$ $$-\frac{8}{5}x = -8$$ 7. **Kürzen mit \cancel{-\frac{8}{5}}:** $$x = \frac{-8}{-\frac{8}{5}} = -8 \times \left(-\frac{5}{8}\right) = 5$$ 8. **x-Wert in (I) einsetzen, um y zu finden:** $$y = 2 \times 5 - 4 = 10 - 4 = 6$$ 9. **Lösung:** $$\boxed{(5, 6)}$$ --- 10. **Teil b) Bestimme a, sodass (1|-2) Lösung ist:** Setze x=1, y=-2 in beide Gleichungen ein: (I) $$4 = 2 \times 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$$ (stimmt) (II) $$-2 = a \times 1 + 4 \implies a = -2 - 4 = -6$$ **Antwort:** $$a = -6$$ --- 11. **Teil c) Gibt es a, für das keine Lösung existiert?** - Die Geraden haben keine Lösung, wenn sie parallel und verschieden sind. - Erste Gerade: $$y = 2x - 4$$ (Steigung 2) - Zweite Gerade: $$y = ax + 4$$ (Steigung a) - Für keine Lösung muss $$a = 2$$ (gleiche Steigung) und unterschiedliche y-Achsenabschnitte vorliegen. - Da erster y-Achsenabschnitt -4 und zweiter 4 ist, sind sie verschieden. **Antwort:** Ja, für $$a = 2$$ gibt es keine Lösung, da die Geraden parallel und verschieden sind.