1. **Problemstellung:** Löse das Gleichungssystem $$2^y = 2 \cdot 4^x$$ $$x + y = 16$$ und berechne $x - y$. 2. **Formeln und Regeln:** - $4^x$ kann als $(2^2)^x = 2^{2x}$ umgeschrieben werden. - Gleichungen mit gleichen Basen können durch Gleichsetzen der Exponenten gelöst werden. 3. **Umformung der ersten Gleichung:** $$2^y = 2 \cdot 4^x = 2 \cdot 2^{2x} = 2^{1 + 2x}$$ 4. **Gleichsetzen der Exponenten:** $$y = 1 + 2x$$ 5. **Einsetzen in die zweite Gleichung:** $$x + y = 16$$ $$x + (1 + 2x) = 16$$ $$3x + 1 = 16$$ 6. **Lösen nach $x$:** $$3x = 16 - 1$$ $$3x = 15$$ $$x = \frac{15}{3}$$ $$x = 5$$ 7. **Berechnung von $y$:** $$y = 1 + 2 \cdot 5 = 1 + 10 = 11$$ 8. **Berechnung von $x - y$:** $$x - y = 5 - 11 = -6$$ **Antwort:** $x - y = -6$ entspricht Auswahl a).