1. ננסח את הנתונים: ראובן משחק 4 תרורים. בתור הראשון הוא הכניס 3 גולות. בכל תר הוא הכניס 2 גולות יותר מהתר הקודם. בכל תר הוא המפסיד, ורק בתור האחרון הוא זכה. 2. נסמן את מספר הגולות שראובן הכניס בתור ה-$i$ כ-$a_i$. אז: $$a_1=3$$ $$a_2=a_1+2=3+2=5$$ $$a_3=a_2+2=5+2=7$$ $$a_4=a_3+2=7+2=9$$ 3. סך כל הגולות שראובן הכניס ב-5 התרורים (לפי השאלה ב-5 תרורים, אך ראובן שיחק 4 תרורים בלבד, נניח שהכוונה ל-4 תרורים) הוא: $$S=3+5+7+9=24$$ 4. בתור האחרון ראובן קיבל מספר גולות הגדול פי 6 ממספר הגולות שהכניס בתורו האחרון: מספר הגולות שראובן קיבל בתורו האחרון הוא: $$6 \times a_4=6 \times 9=54$$ 5. לפי השאלה, בתור האחרון הוא קיבל מספר גולות הגדול ב-6 ממספר כל הגולות שהכניס למשחק ב-5 התרורים ששיחק (נניח 4 תרורים), כלומר: $$6 = \text{ההפרש בין מספר הגולות שקיבל בתור האחרון לסך כל הגולות שהכניס}$$ אז מספר הגולות שקיבל בתור האחרון הוא: $$S + 6 = 24 + 6 = 30$$ 6. יש סתירה בין 54 ל-30, לכן נניח שהשאלה מתכוונת שראובן קיבל בתור האחרון מספר גולות הגדול פי 6 ממספר הגולות שהכניס בתורו האחרון (54), ושההפרש בין מספר הגולות שקיבל בתור האחרון לסך כל הגולות שהכניס הוא 6, כלומר: $$6 \times a_4 = S + 6$$ נבדוק: $$6 \times 9 = 54$$ $$S + 6 = 24 + 6 = 30$$ לא שווה, לכן נניח שהשאלה מתכוונת שראובן קיבל בתור האחרון מספר גולות הגדול ב-6 ממספר כל הגולות שהכניס למשחק ב-5 התרורים ששיחק. 7. נסמן את מספר הגולות שראובן הכניס ב-$n$ תרורים: $$a_n = 3 + 2(n-1)$$ 8. סך כל הגולות שראובן הכניס ב-$n$ תרורים הוא סכום סדרה אריתמטית: $$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} (3 + (3 + 2(n-1))) = \frac{n}{2} (3 + 3 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (4 + 2n) = n(n+2)$$ 9. סיכום: - מספר הגולות שראובן הכניס בתור ה-$n$ הוא: $$a_n = 3 + 2(n-1)$$ - סך כל הגולות שראובן הכניס ב-$n$ תרורים הוא: $$S_n = n(n+2)$$