1. El problema es graficar la función cuadrática $y = x^2 - 4x - 5$ y encontrar sus características clave. 2. La forma estándar de la función es $y = ax^2 + bx + c$ donde $a=1$, $b=-4$, y $c=-5$. 3. La fórmula para el eje de simetría es $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2.$$ Esto significa que la parábola es simétrica respecto a la línea vertical $x=2$. 4. Para encontrar el vértice, sustituimos $x=2$ en la ecuación: $$y = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.$$ Entonces, el vértice es el punto $(2, -9)$. 5. Ahora, hacemos una tabla de valores eligiendo dos valores a la izquierda y dos a la derecha del eje de simetría $x=2$: - Para $x=0$: $$y = 0^2 - 4(0) - 5 = -5.$$ - Para $x=1$: $$y = 1^2 - 4(1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8.$$ - Para $x=3$: $$y = 3^2 - 4(3) - 5 = 9 - 12 - 5 = -8.$$ - Para $x=4$: $$y = 4^2 - 4(4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5.$$ 6. La tabla completa es: | x | y | |---|---| | 0 | -5 | | 1 | -8 | | 2 | -9 | | 3 | -8 | | 4 | -5 | 7. El dominio de la función cuadrática es todos los números reales: $(-\infty, \infty)$. 8. El rango es $y \geq -9$ porque la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto mínimo. 9. El intercepto en $y$ es cuando $x=0$, que ya calculamos: $y=-5$. 10. Para encontrar los interceptos en $x$, resolvemos $x^2 - 4x - 5 = 0$: $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ $$\Rightarrow (x - 5)(x + 1) = 0$$ $$\Rightarrow x = 5 \text{ o } x = -1.$$ Por lo tanto, los interceptos en $x$ son $(-1, 0)$ y $(5, 0)$. 11. Resumen de características: - Eje de simetría: $x=2$ - Vértice: $(2, -9)$ - Dominio: $(-\infty, \infty)$ - Rango: $y \geq -9$ - Intercepto en $y$: $(0, -5)$ - Interceptos en $x$: $(-1, 0)$ y $(5, 0)$ 12. Conecta los puntos de la tabla para formar la parábola que abre hacia arriba con vértice en $(2, -9)$. Respuesta final: La función $y = x^2 - 4x - 5$ tiene eje de simetría $x=2$, vértice en $(2, -9)$, dominio $(-\infty, \infty)$, rango $y \geq -9$, intercepto en $y$ en $(0, -5)$, e interceptos en $x$ en $(-1, 0)$ y $(5, 0)$.