1. El problema consiste en graficar y analizar las funciones cuadráticas dadas, que tienen la forma general $$y = ax^2 + bx + c$$. 2. La fórmula para encontrar el vértice de una parábola es $$x_v = -\frac{b}{2a}$$ y $$y_v = f(x_v)$$. 3. También es importante encontrar las raíces (intersecciones con el eje x) usando la fórmula cuadrática $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$. 4. Para cada función, calcularemos el vértice, las raíces (si existen), y describiremos la forma de la gráfica (abierta hacia arriba si $a>0$, hacia abajo si $a<0$). **Ejemplo 1: $y = x^2 + 4x - 5$** 1. Coeficientes: $a=1$, $b=4$, $c=-5$. 2. Vértice: $$x_v = -\frac{4}{2\times1} = -2$$ 3. Evaluamos $y_v$: $$y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$ 4. Raíces: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\times1\times(-5)}}{2\times1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$ 5. La parábola abre hacia arriba porque $a=1>0$. **Ejemplo 2: $y = x^2 - 9$** 1. $a=1$, $b=0$, $c=-9$. 2. Vértice: $$x_v = -\frac{0}{2\times1} = 0$$ 3. $$y_v = 0^2 - 9 = -9$$ 4. Raíces: $$x = \frac{0 \pm \sqrt{0 - 4\times1\times(-9)}}{2} = \pm 3$$ 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 3: $y = x^2 + 5x + 6$** 1. $a=1$, $b=5$, $c=6$. 2. Vértice: $$x_v = -\frac{5}{2} = -2.5$$ 3. $$y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$$ 4. Raíces: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = -2, \quad x_2 = -3$$ 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 4: $y = 3x^2 - 5x + 2$** 1. $a=3$, $b=-5$, $c=2$. 2. Vértice: $$x_v = -\frac{-5}{2\times3} = \frac{5}{6} \approx 0.833$$ 3. $$y_v = 3(0.833)^2 - 5(0.833) + 2 \approx 3(0.694) - 4.167 + 2 = 2.083 - 4.167 + 2 = -0.084$$ 4. Raíces: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\times3\times2}}{2\times3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{2}{3} \approx 0.667$$ 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 5: $y = 4 - x^2$** 1. Reescribimos como $y = -x^2 + 4$, $a=-1$, $b=0$, $c=4$. 2. Vértice: $$x_v = 0$$ 3. $$y_v = 4$$ 4. Raíces: $$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$ 5. Parábola abre hacia abajo porque $a=-1<0$. **Ejemplo 6: $y = 2x^2 + 3x - 1$** 1. $a=2$, $b=3$, $c=-1$. 2. Vértice: $$x_v = -\frac{3}{4} = -0.75$$ 3. $$y_v = 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) - 1 = 2(0.5625) - 2.25 - 1 = 1.125 - 3.25 = -2.125$$ 4. Raíces: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4\times2\times(-1)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$$ 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 7: $y = 5x^2 - 2x - 6$** 1. $a=5$, $b=-2$, $c=-6$. 2. Vértice: $$x_v = -\frac{-2}{10} = 0.2$$ 3. $$y_v = 5(0.2)^2 - 2(0.2) - 6 = 5(0.04) - 0.4 - 6 = 0.2 - 0.4 - 6 = -6.2$$ 4. Raíces: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4\times5\times(-6)}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{10}$$ 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 8: $y = x^2 + 3$** 1. $a=1$, $b=0$, $c=3$. 2. Vértice: $$x_v = 0$$ 3. $$y_v = 3$$ 4. Raíces: No hay raíces reales porque $x^2 = -3$ no tiene solución real. 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 9: $y = x^2 - 7x - 8$** 1. $a=1$, $b=-7$, $c=-8$. 2. Vértice: $$x_v = \frac{7}{2} = 3.5$$ 3. $$y_v = (3.5)^2 - 7(3.5) - 8 = 12.25 - 24.5 - 8 = -20.25$$ 4. Raíces: $$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}$$ $$x_1 = 8, \quad x_2 = -1$$ 5. Parábola abre hacia arriba. **Ejemplo 10: $y = 4x^2 - 16$** 1. $a=4$, $b=0$, $c=-16$. 2. Vértice: $$x_v = 0$$ 3. $$y_v = -16$$ 4. Raíces: $$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$$ 5. Parábola abre hacia arriba. Cada función puede graficarse usando estos puntos clave: vértice, raíces, y la dirección de apertura.