1. Planteamos el problema: Graficar la función $f(x) = -x^{2} + 6x - 5$ e indicar su dominio y rango. 2. Recordemos que para funciones cuadráticas de la forma $ax^{2} + bx + c$, el dominio es siempre $\mathbb{R}$ (todos los números reales). 3. Para encontrar el rango, identificamos el vértice de la parábola. La fórmula para la coordenada $x$ del vértice es $$x = -\frac{b}{2a}$$ donde $a = -1$ y $b = 6$. 4. Calculamos $$x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$. 5. Evaluamos $f(3)$ para encontrar la coordenada $y$ del vértice: $$f(3) = -(3)^{2} + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$. 6. Como $a = -1 < 0$, la parábola abre hacia abajo, por lo que el vértice es un máximo. 7. Por lo tanto, el rango es $$(-\infty, 4]$$. 8. Resumen: - Dominio: $\mathbb{R}$ - Rango: $(-\infty, 4]$ 9. La función se puede escribir completando el cuadrado para facilitar el gráfico: $$f(x) = -(x^{2} - 6x) - 5 = -\left(x^{2} - 6x + 9\right) + 9 - 5 = -(x - 3)^{2} + 4$$. Esto confirma que el vértice está en $(3,4)$ y la parábola abre hacia abajo.