1. Planteamos el problema: Graficar la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, indicando dominio, rango y tabla de valores. 2. Dominio: Para funciones cuadráticas, el dominio es todo $\mathbb{R}$, es decir, $(-\infty, \infty)$. 3. Rango: Como el coeficiente de $x^2$ es negativo ($-1$), la parábola abre hacia abajo y tiene un máximo. 4. Encontramos el vértice usando la fórmula $x_v = -\frac{b}{2a}$ para $ax^2 + bx + c$. 5. Aquí, $a = -1$, $b = 6$, $c = -5$, entonces: $$x_v = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$ 6. Calculamos $f(3)$ para encontrar la altura máxima: $$f(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$ 7. Por lo tanto, el vértice es $(3,4)$ y el rango es $(-\infty, 4]$. 8. Tabla de valores: Elegimos valores cercanos a 3 para ver la forma de la parábola. | $x$ | $f(x)$ | |-----|--------| | 1 | $-(1)^2 + 6(1) - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$ | | 2 | $-(2)^2 + 6(2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3$ | | 3 | $4$ (vértice) | | 4 | $-(4)^2 + 6(4) - 5 = -16 + 24 - 5 = 3$ | | 5 | $-(5)^2 + 6(5) - 5 = -25 + 30 - 5 = 0$ | 9. Resumen: - Dominio: $(-\infty, \infty)$ - Rango: $(-\infty, 4]$ - Vértice: $(3,4)$ - Tabla de valores: como arriba 10. La gráfica es una parábola que abre hacia abajo con vértice en $(3,4)$.