1. समस्या: एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ समय $t$ के साथ स्थिर गति से बदल रही है। आरंभ में $r=3$ ईकाई और 3 सेकंड बाद $r=6$ ईकाई है। $t$ सेकंड बाद त्रिज्या ज्ञात करें। 2. सूत्र: चूंकि त्रिज्या स्थिर गति से बढ़ रही है, अतः $r$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ेगा: $$r = r_0 + vt$$ जहाँ $r_0$ प्रारंभिक त्रिज्या और $v$ गति है। 3. गति ज्ञात करें: $$v = \frac{6 - 3}{3 - 0} = 1$$ ईकाई/सेकंड 4. अतः त्रिज्या का समीकरण: $$r = 3 + 1 \times t = 3 + t$$ --- 5. समस्या: बैंक में मूलधन $P$ वार्षिक वृद्धि दर $r\%$ से बढ़ता है। 100 रुपये 10 वर्षों में दोगुना हो जाते हैं। $r$ ज्ञात करें। 6. सूत्र: चूंकि वृद्धि चक्रवृद्धि है, हम उपयोग करेंगे: $$A = P e^{rt}$$ यहाँ $A$ अंतिम राशि, $P$ प्रारंभिक राशि, $r$ वार्षिक वृद्धि दर (दशमलव में), $t$ समय (वर्षों में)। 7. दिया है: $$A = 2P, P=100, t=10$$ 8. समीकरण: $$2P = P e^{10r} \Rightarrow 2 = e^{10r}$$ 9. दोनों ओर प्राकृतिक लघुगणक लें: $$\ln 2 = 10r \Rightarrow r = \frac{\ln 2}{10} = \frac{0.6931}{10} = 0.06931$$ 10. वार्षिक वृद्धि दर: $$r = 6.931\%$$ --- 11. समस्या: बैंक में 5% वार्षिक वृद्धि दर से 1000 जमा किए जाते हैं। 10 वर्ष बाद राशि ज्ञात करें। 12. सूत्र: $$A = P e^{rt}$$ 13. दिया है: $$P=1000, r=0.05, t=10$$ 14. गणना: $$A = 1000 \times e^{0.05 \times 10} = 1000 \times e^{0.5} = 1000 \times 1.648 = 1648$$ --- 15. समस्या: जीवाणु समूह की संख्या $N=100000$ है। 2 घंटे में 10% वृद्धि होती है। ज्ञात करें कितने घंटे में संख्या 200000 होगी। 16. वृद्धि दर $k$ ज्ञात करें: $$N(t) = N_0 e^{kt}$$ 17. दिया है: $$N_0 = 100000, N(2) = 100000 \times 1.1 = 110000$$ 18. समीकरण: $$110000 = 100000 e^{2k} \Rightarrow 1.1 = e^{2k}$$ 19. प्राकृतिक लघुगणक लें: $$\ln 1.1 = 2k \Rightarrow k = \frac{\ln 1.1}{2}$$ 20. अब $t$ ज्ञात करें जब $N(t) = 200000$: $$200000 = 100000 e^{kt} \Rightarrow 2 = e^{kt}$$ 21. प्राकृतिक लघुगणक लें: $$\ln 2 = kt \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0.6931}{\frac{\ln 1.1}{2}} = \frac{0.6931 \times 2}{\ln 1.1}$$ 22. $ \ln 1.1 \approx 0.09531$ 23. अतः: $$t = \frac{0.6931 \times 2}{0.09531} \approx 14.54$$ घंटे --- अंतिम उत्तर: 1. $r = 3 + t$ 2. $r = 6.931\%$ 3. $A = 1648$ 4. $t \approx 14.54$ घंटे