1. ננסח את הבעיה: ראובן משחק בגולות במשך $n$ תורים. 2. בתור הראשון, ראובן הכניס 3 גולות והפסיד, כלומר איבד את כל 3 הגולות. 3. בכל תור הבא, הוא מכניס 2 גולות יותר מהתור הקודם. לכן, מספר הגולות שהכניס בתור $k$ הוא: $$g_k = 3 + 2(k-1) = 2k + 1$$ 4. ראובן הפסיד בכל התורים מלבד התור האחרון, שבו זכה וקיבל פי 6 ממספר הגולות שהכניס באותו תור. 5. סך כל הגולות שהכניס עד התור $n$ הוא סכום הסדרה: $$S = \sum_{k=1}^n g_k = \sum_{k=1}^n (2k + 1)$$ 6. סכום זה הוא: $$S = 2\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + 2n$$ 7. בתור האחרון, ראובן זכה וקיבל מספר גולות שהוא פי 6 ממספר הגולות שהכניס בתור זה: $$6 \cdot g_n = 6(2n + 1) = 12n + 6$$ 8. לפי הנתון, מספר הגולות שקיבל בתור האחרון גדול ב-6 ממספר כל הגולות שהכניס עד התור $n$: $$6 \cdot g_n = S + 6$$ 9. נציב את הערכים ונקבל: $$12n + 6 = n^2 + 2n + 6$$ 10. נעביר הכל לאגף אחד: $$n^2 + 2n + 6 - 12n - 6 = 0 \Rightarrow n^2 - 10n = 0$$ 11. נפרק לגורמים: $$n(n - 10) = 0$$ 12. הפתרונות הם: $$n = 0 \quad \text{או} \quad n = 10$$ 13. מכיוון ש-$n$ מייצג מספר תורים חיובי, נקבל: $$n = 10$$ 14. סיכום: ראובן שיחק 10 תורים.