1. **Herleiden** **a.** Herleid $a(a - 9)(a + 9)$. Gebruik de regel van verschil van kwadraten: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. $$a(a - 9)(a + 9) = a(a^2 - 81) = a^3 - 81a$$ **b.** Herleid $(2a - 3b)^2$. Gebruik de formule voor het kwadraat van een tweeterm: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. $$ (2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$$ **c.** Herleid $(x + 3)^2 + (2x + 1)(2x - 1)$. Gebruik de formule voor het kwadraat van een tweeterm en verschil van kwadraten: $$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$$ $$(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$$ Tel op: $$x^2 + 6x + 9 + 4x^2 - 1 = 5x^2 + 6x + 8$$ **d.** Herleid $(2a + b)^2 - (2a - b)^2$. Gebruik de formule voor het verschil van kwadraten: $$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = [(2a + b) - (2a - b)] \cdot [(2a + b) + (2a - b)]$$ Bereken: $$= (2a + b - 2a + b)(2a + b + 2a - b) = (2b)(4a) = 8ab$$ 2. **Herleiden** **a.** Herleid $3a(a + 6)^2 - (6a)^2$. Eerst kwadraat uitwerken: $$(a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36$$ Dus: $$3a(a^2 + 12a + 36) - (6a)^2 = 3a^3 + 36a^2 + 108a - 36a^2 = 3a^3 + \cancel{36a^2} + 108a - \cancel{36a^2} = 3a^3 + 108a$$ **b.** Herleid $4(3x - 5)^2 - 9(2x + 1)(2x - 1)$. Werk uit: $$(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$$ $$(2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$$ Dus: $$4(9x^2 - 30x + 25) - 9(4x^2 - 1) = 36x^2 - 120x + 100 - 36x^2 + 9 = \cancel{36x^2} - 120x + 100 - \cancel{36x^2} + 9 = -120x + 109$$ 3. **Herleiden** **a.** Herleid $(x + 3y)(3 - x + y)$. Uitwerken met distributie: $$= x(3 - x + y) + 3y(3 - x + y) = 3x - x^2 + xy + 9y - 3xy + 3y^2$$ Combineer gelijksoortige termen: $$3x - x^2 + xy - 3xy + 9y + 3y^2 = 3x - x^2 - 2xy + 9y + 3y^2$$ **b.** Herleid $(x + 4)^3$. Gebruik de formule voor de derde macht van een tweeterm: $$(x + 4)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 4 + 3x \cdot 4^2 + 4^3 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64$$ 4. **Kwadraatafsplitsen** **a.** Splits het kwadraat af bij $x^2 + 14x - 2$. Formule voor kwadraatafsplitsen: $$x^2 + bx = (x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2$$ Hier is $b = 14$: $$x^2 + 14x = (x + 7)^2 - 49$$ Dus: $$x^2 + 14x - 2 = (x + 7)^2 - 49 - 2 = (x + 7)^2 - 51$$ **b.** Los de vergelijking $x^2 + 5 = 8x$ exact op met kwadraatafsplitsen. Herschrijf: $$x^2 - 8x + 5 = 0$$ Kwadraatafsplitsen: $$x^2 - 8x = -5$$ $$x^2 - 8x + 16 = -5 + 16$$ $$ (x - 4)^2 = 11$$ Neem wortel: $$x - 4 = \pm \sqrt{11}$$ Oplossingen: $$x = 4 \pm \sqrt{11}$$ 5. **Breuken met letters herleiden** **a.** Herleid $\frac{8a^2 - 16a}{2a}$. Factoriseer teller: $$\frac{8a(a - 2)}{2a}$$ Kansel $a$: $$\frac{8\cancel{a}(a - 2)}{2\cancel{a}} = \frac{8(a - 2)}{2} = 4(a - 2) = 4a - 8$$ **b.** Herleid $\frac{2x^2 + 4x}{x^2 - 4}$. Factoriseer: $$\frac{2x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$$ Kansel $(x + 2)$: $$\frac{2x\cancel{(x + 2)}}{(x - 2)\cancel{(x + 2)}} = \frac{2x}{x - 2}$$ **c.** Herleid $\frac{t^2 + 10t + 25}{t^2 + 4t - 5}$. Factoriseer teller en noemer: $$\frac{(t + 5)^2}{(t + 5)(t - 1)}$$ Kansel $(t + 5)$: $$\frac{(t + 5)\cancel{(t + 5)}}{\cancel{(t + 5)}(t - 1)} = \frac{t + 5}{t - 1}$$ 6. **Herleiden** **a.** Herleid $\frac{x - 2}{x - 4} - \frac{x + 1}{x + 2}$. Breng op gemeenschappelijke noemer: $$(x - 4)(x + 2)$$ Schrijf als: $$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 4)(x + 2)} - \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x + 2)(x - 4)} = \frac{(x - 2)(x + 2) - (x + 1)(x - 4)}{(x - 4)(x + 2)}$$ Werk teller uit: $$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$$ $$(x + 1)(x - 4) = x^2 - 3x - 4$$ Dus teller: $$x^2 - 4 - (x^2 - 3x - 4) = x^2 - 4 - x^2 + 3x + 4 = 3x$$ Dus: $$\frac{3x}{(x - 4)(x + 2)}$$ **b.** Herleid $\frac{a + 1}{3} \cdot \frac{2a^2}{a^2 + a}$. Factoriseer noemer: $$a^2 + a = a(a + 1)$$ Vermenigvuldig: $$\frac{a + 1}{3} \cdot \frac{2a^2}{a(a + 1)} = \frac{2a^2(a + 1)}{3a(a + 1)}$$ Kansel $(a + 1)$: $$\frac{2a^2\cancel{(a + 1)}}{3a\cancel{(a + 1)}} = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2a\cancel{a}}{3\cancel{a}} = \frac{2a}{3}$$ **c.** Herleid $\frac{n + 2}{2n - 2} : \frac{n + 1}{n - 1}$. Schrijf deling als vermenigvuldiging met omgekeerde: $$\frac{n + 2}{2(n - 1)} \cdot \frac{n - 1}{n + 1}$$ Kansel $(n - 1)$: $$\frac{n + 2}{2\cancel{(n - 1)}} \cdot \frac{\cancel{(n - 1)}}{n + 1} = \frac{n + 2}{2} \cdot \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 2}{2(n + 1)}$$ **d.** Herleid $\frac{8}{\frac{3}{a}}$. Schrijf als vermenigvuldiging: $$8 \cdot \frac{a}{3} = \frac{8a}{3}$$ **e.** Herleid $x - 3 - \frac{x - 2}{x - 1}$. Schrijf als: $$\frac{(x - 3)(x - 1)}{x - 1} - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{(x - 3)(x - 1) - (x - 2)}{x - 1}$$ Werk teller uit: $$(x - 3)(x - 1) = x^2 - x - 3x + 3 = x^2 - 4x + 3$$ Dus teller: $$x^2 - 4x + 3 - x + 2 = x^2 - 5x + 5$$ Dus: $$\frac{x^2 - 5x + 5}{x - 1}$$ **f.** Herleid $\frac{\frac{4}{5x}}{6}$. Schrijf als: $$\frac{4}{5x} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{30x} = \frac{2}{15x}$$ 7. **Gebroken vergelijkingen** **a.** Formule voor oppervlakte tuin $x \times y = 36$. Los op voor $y$: $$y = \frac{36}{x}$$ **b.** Grafiek is $y = \frac{36}{x}$. **c.** Als $x$ vier keer zo groot wordt, dan wordt $y$: $$y_{nieuw} = \frac{36}{4x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{36}{x} = \frac{y}{4}$$ Dus $y$ wordt vier keer zo klein. **d.** Als $x$ heel klein is (dicht bij 0), dan wordt $y = \frac{36}{x}$ heel groot (oneindig). 8. **Los op** **a.** $\frac{3}{x + 2} = \frac{5}{x - 4}$ Kruisvermenigvuldigen: $$3(x - 4) = 5(x + 2)$$ $$3x - 12 = 5x + 10$$ Breng alles naar één kant: $$3x - 5x = 10 + 12$$ $$-2x = 22$$ $$x = -11$$ **b.** $18 + \frac{10}{4 - 0.1x} = 68$ Trek 18 af: $$\frac{10}{4 - 0.1x} = 50$$ Kruisvermenigvuldig: $$10 = 50(4 - 0.1x)$$ $$10 = 200 - 5x$$ Breng alles naar één kant: $$5x = 200 - 10 = 190$$ $$x = 38$$ **c.** $50 - \frac{6x}{x - 8} = 42.5$ Trek 50 af: $$- \frac{6x}{x - 8} = -7.5$$ Vermenigvuldig met $-1$: $$\frac{6x}{x - 8} = 7.5$$ Kruisvermenigvuldig: $$6x = 7.5(x - 8) = 7.5x - 60$$ Breng alles naar één kant: $$6x - 7.5x = -60$$ $$-1.5x = -60$$ $$x = 40$$ 9. **Insectenformule** $$N = 3600 - \frac{1200}{2 + 0.1t}$$ **a.** Bereken $N$ na 28 dagen. $$N = 3600 - \frac{1200}{2 + 0.1 \cdot 28} = 3600 - \frac{1200}{2 + 2.8} = 3600 - \frac{1200}{4.8} = 3600 - 250 = 3350$$ **b.** Bereken $t$ als $N = 3475$. $$3475 = 3600 - \frac{1200}{2 + 0.1t}$$ Trek 3600 af: $$-125 = - \frac{1200}{2 + 0.1t}$$ Vermenigvuldig met $-1$: $$125 = \frac{1200}{2 + 0.1t}$$ Kruisvermenigvuldig: $$125(2 + 0.1t) = 1200$$ $$250 + 12.5t = 1200$$ $$12.5t = 950$$ $$t = 76$$ 10. **Wortels herleiden** **a.** $3\sqrt{80} - 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}$ Herschrijf: $$3\sqrt{16 \cdot 5} - 5\sqrt{3 \cdot 15} = 3 \cdot 4 \sqrt{5} - 5 \sqrt{45} = 12\sqrt{5} - 5 \cdot 3 \sqrt{5} = 12\sqrt{5} - 15\sqrt{5} = -3\sqrt{5}$$ **b.** $\frac{6\sqrt{80}}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{200}$ Herschrijf: $$\frac{6 \cdot 4 \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2} \cdot 10 \sqrt{2} = \frac{24 \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} - 5 \sqrt{2} = 12 \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - 5 \sqrt{2}$$ Rationaliseer: $$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$$ Dus: $$12 \sqrt{\frac{5}{2}} - 5 \sqrt{2}$$ Dit is de vereenvoudigde vorm. **c.** $5\sqrt{1 \frac{7}{25}} - 3\sqrt{8}$ Herschrijf gemengd getal: $$1 \frac{7}{25} = \frac{32}{25}$$ Dus: $$5 \sqrt{\frac{32}{25}} - 3 \sqrt{8} = 5 \cdot \frac{\sqrt{32}}{5} - 3 \cdot 2 \sqrt{2} = \sqrt{32} - 6 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} = -2 \sqrt{2}$$ **d.** $3\sqrt{7 \frac{1}{9}} - (2\sqrt{2})^2$ Herschrijf gemengd getal: $$7 \frac{1}{9} = \frac{64}{9}$$ Dus: $$3 \sqrt{\frac{64}{9}} - (2 \sqrt{2})^2 = 3 \cdot \frac{8}{3} - (2^2 \cdot 2) = 8 - 8 = 0$$ 11. **Herleiden** **a.** $\frac{3}{\sqrt{6}} - \sqrt{24}$ Rationaliseer eerste term: $$\frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ Herschrijf tweede term: $$\sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$$ Dus: $$\frac{\sqrt{6}}{2} - 2 \sqrt{6} = \sqrt{6} \left( \frac{1}{2} - 2 \right) = \sqrt{6} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{3}{2} \sqrt{6}$$ **b.** $\sqrt{10 \frac{2}{3}} - \sqrt{2 \frac{2}{3}}$ Herschrijf gemengde getallen: $$10 \frac{2}{3} = \frac{32}{3}, \quad 2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$ Dus: $$\sqrt{\frac{32}{3}} - \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Rationaliseer: $$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$$ **c.** $\sqrt{\frac{1}{6}} + \frac{5}{6} \sqrt{24}$ Herschrijf: $$\sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}, \quad \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$$ Dus: $$\frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{5}{6} \cdot 2 \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{10}{6} \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{5}{3} \sqrt{6}$$ Rationaliseer eerste term: $$\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ Dus: $$\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{5}{3} \sqrt{6} = \sqrt{6} \left( \frac{1}{6} + \frac{5}{3} \right) = \sqrt{6} \left( \frac{1}{6} + \frac{10}{6} \right) = \sqrt{6} \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{6} \sqrt{6}$$ 12. **Bereken exact oppervlakte en omtrek van driehoek $\triangle ABC$** Gegeven: - $AC = 2\sqrt{15}$ - $CD = 2\sqrt{3}$ - $DB = 3\sqrt{3}$ Omdat $D$ op $CB$ ligt en $AD$ loodrecht op $CB$ is, is $AD$ de hoogte. Bereken $CB$: $$CB = CD + DB = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$ Bereken $AD$ met Pythagoras in $\triangle ADC$: $$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{(2\sqrt{15})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 \cdot 15 - 4 \cdot 3} = \sqrt{60 - 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ Oppervlakte: $$A = \frac{1}{2} \times CB \times AD = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 20 \times 3 = 30$$ Bereken $AB$ met Pythagoras in $\triangle ADB$: $$AB = \sqrt{AD^2 + DB^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{48 + 27} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$ Omtrek: $$P = AB + BC + AC = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 2\sqrt{15} = 10\sqrt{3} + 2\sqrt{15}$$ 13. **Wortelvergelijkingen oplossen** **a.** $12 + \sqrt{2x - 3} = 21$ Trek 12 af: $$\sqrt{2x - 3} = 9$$ Kwadrateer: $$2x - 3 = 81$$ $$2x = 84$$ $$x = 42$$ **b.** $12 + \sqrt{1 - x} = 10$ Trek 12 af: $$\sqrt{1 - x} = -2$$ Wortel kan niet negatief zijn, dus geen oplossing. **c.** $180 - 5\sqrt{x} = 60$ Trek 180 af: $$-5\sqrt{x} = -120$$ Deel door $-5$: $$\sqrt{x} = 24$$ Kwadrateer: $$x = 576$$ **d.** $15\sqrt{x} - 21 = 204$ Trek 21 af: $$15\sqrt{x} = 225$$ Deel door 15: $$\sqrt{x} = 15$$ Kwadrateer: $$x = 225$$ 14. **Veilige snelheid in bocht** Formule: $$v = 3.5 \sqrt{5r}$$ **a.** $r = 10$ $$v = 3.5 \sqrt{5 \times 10} = 3.5 \sqrt{50} = 3.5 \times 5 \sqrt{2} = 17.5 \sqrt{2} \approx 24.7$$ **b.** $v = 21$ Los op voor $r$: $$21 = 3.5 \sqrt{5r}$$ Deel door 3.5: $$6 = \sqrt{5r}$$ Kwadrateer: $$36 = 5r$$ $$r = \frac{36}{5} = 7.2$$