1. Énoncé du problème : Factoriser le polynôme $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$ en utilisant la méthode de Horner. 2. Rappel de la méthode de Horner : Cette méthode permet de diviser un polynôme par un binôme de la forme $(x - a)$ en effectuant une division synthétique. Si le reste est nul, alors $(x - a)$ est un facteur du polynôme. 3. Trouvons une racine possible du polynôme en testant des valeurs entières divisant le terme constant $-9$, soit $\pm1, \pm3, \pm9$. 4. Testons $x=1$ : $$1^3 + 5 \times 1^2 + 3 \times 1 - 9 = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$$ Donc $x=1$ est une racine. 5. Appliquons la méthode de Horner pour diviser $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$ par $(x - 1)$ : Coefficients : 1 (pour $x^3$), 5 (pour $x^2$), 3 (pour $x$), -9 (constante). Effectuons la division synthétique : - Descendons le premier coefficient : 1 - Multiplions par la racine 1 : $1 \times 1 = 1$ - Additionnons au coefficient suivant : $5 + 1 = 6$ - Multiplions par 1 : $6 \times 1 = 6$ - Additionnons au coefficient suivant : $3 + 6 = 9$ - Multiplions par 1 : $9 \times 1 = 9$ - Additionnons au dernier coefficient : $-9 + 9 = 0$ Le reste est nul, donc la division est exacte. 6. Le polynôme se factorise donc en : $$ (x - 1)(x^2 + 6x + 9) $$ 7. Factorisons le trinôme $x^2 + 6x + 9$ : $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ 8. Conclusion : $$x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x + 3)^2$$