1. **Stating the problem:** Vi har en parabel, der beskriver hvælvingen i vinkælderen med funktionen $$f(x) = -1,6x^2 + 3,4x$$ hvor $f(x)$ er højden over gulvet i meter, og $x$ er afstanden fra venstre hjørne i meter. 2. **Del a) Bestem bredden af hvælvingen ved gulvhøjde:** Hvælvingen er ved gulvhøjde, når $f(x) = 0$. Vi løser ligningen: $$-1,6x^2 + 3,4x = 0$$ Faktoriser ud: $$x(-1,6x + 3,4) = 0$$ Løsningerne er: $$x = 0$$ eller $$-1,6x + 3,4 = 0$$ Løs for $x$ i anden ligning: $$-1,6x + 3,4 = 0$$ $$-1,6x = -3,4$$ $$x = \frac{-3,4}{-1,6} = \frac{3,4}{1,6}$$ For at vise forkortning: $$x = \frac{\cancel{3,4}}{\cancel{1,6}} = 2,125$$ Så rødderne er $x=0$ og $x=2,125$ meter. Bredden af hvælvingen ved gulvhøjde er afstanden mellem disse to punkter: $$\text{Bredde} = 2,125 - 0 = 2,125$$ meter. 3. **Del b) Bestem hvælvingens maksimale højde:** Da funktionen er en parabel med negativ koefficient foran $x^2$, har den et maksimum i toppunktet. Formlen for toppunktet $x$-værdi er: $$x = -\frac{b}{2a}$$ Her er $a = -1,6$ og $b = 3,4$. Beregn: $$x = -\frac{3,4}{2 \times (-1,6)} = -\frac{3,4}{-3,2} = 1,0625$$ Indsæt $x=1,0625$ i funktionen for at finde maksimal højde: $$f(1,0625) = -1,6(1,0625)^2 + 3,4(1,0625)$$ $$= -1,6 \times 1,1289 + 3,4 \times 1,0625$$ $$= -1,8062 + 3,6125 = 1,8063$$ meter. **Svar:** - Bredden ved gulvhøjde er $2,125$ meter. - Maksimal højde af hvælvingen er cirka $1,81$ meter.