1. **صورت مسئله:** تابع $f(x)$ همانی است، یعنی برای هر $x$ داریم $f(x)=x$. همچنین داده شده است: $$f(5a+f(a))=a^2+9$$ و باید مقدار $f(f(2a)-1)$ را پیدا کنیم. 2. **فرمول و قانون مهم:** اگر تابع همانی باشد، آنگاه: $$f(x)=x$$ پس در هر جایی که $f$ ظاهر شود، می‌توانیم آن را با همان ورودی‌اش جایگزین کنیم. 3. **جایگذاری در رابطه‌ی داده‌شده:** چون $f(a)=a$، داریم: $$f(5a+f(a))=f(5a+a)=f(6a)$$ و چون تابع همانی است: $$f(6a)=6a$$ پس رابطه‌ی مسئله به شکل زیر درمی‌آید: $$6a=a^2+9$$ 4. **حل معادله برای $a$:** $$a^2-6a+9=0$$ $$\cancel{(a-3)(a-3)}=0$$ پس: $$a=3$$ 5. **محاسبه‌ی عبارت خواسته‌شده:** ابتدا: $$f(2a)=2a$$ پس: $$f(f(2a)-1)=f(2a-1)$$ و چون $f$ همانی است: $$f(2a-1)=2a-1$$ اکنون $a=3$ را جایگذاری می‌کنیم: $$2(3)-1=5$$ 6. **پاسخ نهایی:** $$5$$