1. **Сформулюємо задачу:** Довести тотожність $$\left( \frac{3}{y+3} + \frac{y^2 + 9}{y^2 - 9} - \frac{3}{3-y} \right) \cdot \frac{y+3}{y^2 + 6y + 9} = \frac{1}{y-3}.$$ 2. **Розглянемо кожен доданок у дужках:** - Звернемо увагу, що $y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$. - Також $y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2$. 3. **Перетворимо вираз у дужках:** $$\frac{3}{y+3} + \frac{y^2 + 9}{(y-3)(y+3)} - \frac{3}{3-y}.$$ 4. **Спрощуємо третій доданок:** $$\frac{3}{3-y} = \frac{3}{-(y-3)} = -\frac{3}{y-3}.$$ Отже, вираз у дужках стає: $$\frac{3}{y+3} + \frac{y^2 + 9}{(y-3)(y+3)} + \frac{3}{y-3}.$$ 5. **Приведемо всі доданки до спільного знаменника $(y-3)(y+3)$:** $$\frac{3(y-3)}{(y+3)(y-3)} + \frac{y^2 + 9}{(y-3)(y+3)} + \frac{3(y+3)}{(y-3)(y+3)}.$$ 6. **Обчислимо чисельник:** $$3(y-3) + (y^2 + 9) + 3(y+3) = 3y - 9 + y^2 + 9 + 3y + 9 = y^2 + 6y + 9.$$ 7. **Отже, вираз у дужках дорівнює:** $$\frac{y^2 + 6y + 9}{(y-3)(y+3)}.$$ 8. **Підставимо назад у початковий вираз:** $$\left( \frac{y^2 + 6y + 9}{(y-3)(y+3)} \right) \cdot \frac{y+3}{(y+3)^2} = \frac{y^2 + 6y + 9}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y+3}{(y+3)^2}.$$ 9. **Спростимо:** $$\frac{y^2 + 6y + 9}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{y+3}{(y+3)^2} = \frac{y^2 + 6y + 9}{(y-3)(y+3)} \cdot \frac{1}{y+3} = \frac{y^2 + 6y + 9}{(y-3)(y+3)^2}.$$ 10. **Замінимо чисельник:** $$y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2,$$ тоді: $$\frac{(y+3)^2}{(y-3)(y+3)^2} = \frac{1}{y-3}.$$ 11. **Отже, доведено, що:** $$\left( \frac{3}{y+3} + \frac{y^2 + 9}{y^2 - 9} - \frac{3}{3-y} \right) \cdot \frac{y+3}{y^2 + 6y + 9} = \frac{1}{y-3}.$$