1. Problema 1: Demonstrarea egalității prin inducție matematică: Se dorește să demonstrăm că $$1 + 7 + 19 + \dots + (3n^2 - 3n + 1) = n^3$$ pentru orice $$n \geq 1$$. 2. Pasul de bază: pentru $$n=1$$, $$3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$$ și $$1^3 = 1$$, deci egalitatea este adevărată pentru $$n=1$$. 3. Pasul inductiv: presupunem că egalitatea este adevărată pentru $$n = k$$, adică $$1 + 7 + 19 + \dots + (3k^2 - 3k + 1) = k^3$$. Trebuie să demonstrăm că este adevărată și pentru $$n = k+1$$: $$1 + 7 + 19 + \dots + (3k^2 - 3k + 1) + (3(k+1)^2 - 3(k+1) + 1) = (k+1)^3$$. 4. Folosind ipoteza inductivă, înlocuim suma până la $$k$$ cu $$k^3$$: $$k^3 + (3(k+1)^2 - 3(k+1) + 1) = (k+1)^3$$. 5. Calculăm termenul nou: $$3(k+1)^2 - 3(k+1) + 1 = 3(k^2 + 2k + 1) - 3k - 3 + 1 = 3k^2 + 6k + 3 - 3k - 3 + 1 = 3k^2 + 3k + 1$$. 6. Suma devine: $$k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$. 7. Observăm că: $$(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$. Deci egalitatea este adevărată pentru $$k+1$$. 8. Concluzie: prin inducție matematică, egalitatea este adevărată pentru orice $$n \geq 1$$. 9. Problema 2a: Calculați $$\sum_{k=1}^{12} (3k + 6)$$. 10. Separăm suma: $$\sum_{k=1}^{12} 3k + \sum_{k=1}^{12} 6 = 3 \sum_{k=1}^{12} k + 6 \cdot 12$$. 11. Folosim formula pentru suma primelor $$n$$ numere naturale: $$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$. 12. Calculăm: $$3 \cdot \frac{12 \cdot 13}{2} + 72 = 3 \cdot 78 + 72 = 234 + 72 = 306$$. 13. Problema 2b: Calculați $$\sum_{k=1}^{22} (k^2 + k + 4)$$. 14. Separăm suma: $$\sum_{k=1}^{22} k^2 + \sum_{k=1}^{22} k + \sum_{k=1}^{22} 4$$. 15. Folosim formulele: $$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ și $$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$. 16. Calculăm fiecare sumă: $$\sum_{k=1}^{22} k^2 = \frac{22 \cdot 23 \cdot 45}{6} = \frac{22 \cdot 23 \cdot 45}{6} = 3795$$ $$\sum_{k=1}^{22} k = \frac{22 \cdot 23}{2} = 253$$ $$\sum_{k=1}^{22} 4 = 4 \cdot 22 = 88$$ 17. Suma totală: $$3795 + 253 + 88 = 4136$$. 18. Problema 3: Demonstrați egalitatea: $$|1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2n - 1)(2n + 1)| = 2(2n + 1)^2, \forall n \geq 1$$. 19. Observăm că termenul general este: $$(2k - 1)(2k + 1) = 4k^2 - 1$$. 20. Suma devine: $$\sum_{k=1}^n (4k^2 - 1) = 4 \sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n 1 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n$$. 21. Simplificăm: $$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 3)}{3}$$. 22. Calculăm expresia din paranteză: $$2(n+1)(2n+1) - 3 = 2(n+1)(2n+1) - 3 = 2(2n^2 + 3n + 1) - 3 = 4n^2 + 6n + 2 - 3 = 4n^2 + 6n - 1$$. 23. Deci suma este: $$\frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$$. 24. Verificăm dacă aceasta este egală cu $$2(2n + 1)^2$$: $$2(2n + 1)^2 = 2(4n^2 + 4n + 1) = 8n^2 + 8n + 2$$. 25. Observăm că expresia obținută pentru sumă nu coincide cu cea dată în problemă, deci probabil este o eroare în enunț sau în semnul valorii absolute. 26. Dacă considerăm valoarea absolută și verificăm pentru $$n=1$$: $$1 \cdot 3 = 3$$ și $$2(2 \cdot 1 + 1)^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$$, deci nu sunt egale. 27. Concluzie: enunțul pare incorect sau necesită reformulare. 28. Problema 4: Demonstrați că $$3^n \geq 2n^2 + 1$$ pentru orice $$n \geq 0$$. 29. Pasul de bază: pentru $$n=0$$, $$3^0 = 1$$ și $$2 \cdot 0^2 + 1 = 1$$, deci egalitatea este adevărată. 30. Pasul inductiv: presupunem că pentru $$n=k$$, $$3^k \geq 2k^2 + 1$$. Trebuie să demonstrăm pentru $$n=k+1$$: $$3^{k+1} \geq 2(k+1)^2 + 1$$. 31. Observăm că: $$3^{k+1} = 3 \cdot 3^k \geq 3(2k^2 + 1) = 6k^2 + 3$$. 32. Trebuie să arătăm că: $$6k^2 + 3 \geq 2(k+1)^2 + 1 = 2(k^2 + 2k + 1) + 1 = 2k^2 + 4k + 3$$. 33. Scădem ambele părți: $$6k^2 + 3 - (2k^2 + 4k + 3) = 4k^2 - 4k = 4k(k - 1)$$. 34. Pentru $$k \geq 1$$, $$4k(k-1) \geq 0$$, deci inegalitatea este adevărată. 35. Pentru $$k=0$$, verificarea de la pasul 29 este valabilă. 36. Concluzie: inegalitatea este adevărată pentru orice $$n \geq 0$$. 37. Problema 5a: Demonstrați că $$n^3 + 5n \geq 6$$ pentru orice $$n \geq 1$$. 38. Pentru $$n=1$$, $$1^3 + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6$$, deci egalitatea este adevărată. 39. Pentru $$n > 1$$, deoarece $$n^3$$ și $$5n$$ sunt crescătoare și pozitive, suma este mai mare decât 6. 40. Concluzie: inegalitatea este adevărată pentru orice $$n \geq 1$$. 41. Problema 5b: Demonstrați că $$2 \cdot 4^{2n+1} + 45 \cdot 3^{n+1} \geq 13$$ pentru orice $$n \geq 0$$. 42. Pentru $$n=0$$, $$2 \cdot 4^{1} + 45 \cdot 3^{1} = 2 \cdot 4 + 45 \cdot 3 = 8 + 135 = 143 \geq 13$$. 43. Pentru $$n > 0$$, ambele termene cresc exponențial, deci inegalitatea este adevărată. 44. Concluzie: inegalitatea este adevărată pentru orice $$n \geq 0$$.