1. נניח כי יש לנו את הטענה: $$\sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k(k+1)2^k} = 1 - \frac{1}{(n+1)2^n}$$ 2. נבדוק את בסיס האינדוקציה עבור $n=1$: $$\frac{1+2}{1 \cdot 2 \cdot 2^1} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$ והצד הימני: $$1 - \frac{1}{2 \cdot 2^1} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ הבסיס נכון. 3. נניח כי הטענה נכונה עבור $n$, כלומר: $$\sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k(k+1)2^k} = 1 - \frac{1}{(n+1)2^n}$$ 4. נבדוק עבור $n+1$: $$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k+2}{k(k+1)2^k} = \left(\sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k(k+1)2^k}\right) + \frac{(n+1)+2}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$$ 5. לפי הנחת האינדוקציה: $$= 1 - \frac{1}{(n+1)2^n} + \frac{n+3}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$$ 6. נבצע חיבור של השברים: $$= 1 - \frac{1}{(n+1)2^n} + \frac{n+3}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$$ 7. נשים לב ש-$2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$, לכן: $$\frac{n+3}{(n+1)(n+2)2^{n+1}} = \frac{n+3}{(n+1)(n+2)2 \cdot 2^n}$$ 8. נכתוב את הביטוי כולו עם מכנה משותף $(n+1)(n+2)2^{n+1}$: $$1 = \frac{(n+1)(n+2)2^{n+1}}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$$ $$- \frac{1}{(n+1)2^n} = - \frac{(n+2)2}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$$ 9. לכן סכום השברים הוא: $$\frac{(n+1)(n+2)2^{n+1} - (n+2)2 + (n+3)}{(n+1)(n+2)2^{n+1}}$$ 10. נחשב את המונה: $$(n+1)(n+2)2^{n+1} - 2(n+2) + (n+3) = (n+1)(n+2)2^{n+1} - 2n -4 + n + 3 = (n+1)(n+2)2^{n+1} - n -1$$ 11. נשים לב כי: $$(n+2)(n+1)2^{n+1} - n -1 = (n+2)(n+1)2^{n+1} - (n+1) = (n+1)((n+2)2^{n+1} - 1)$$ 12. לכן: $$\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k+2}{k(k+1)2^k} = \frac{(n+1)((n+2)2^{n+1} - 1)}{(n+1)(n+2)2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{(n+2)2^{n+1}}$$ 13. הוכחנו כי הטענה נכונה גם עבור $n+1$. 14. מסקנה: לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל $n \geq 1$. **תשובה סופית:** $$\sum_{k=1}^n \frac{k+2}{k(k+1)2^k} = 1 - \frac{1}{(n+1)2^n}$$