1. Enunciado: Sejam $c$ e $d$ números reais superiores a 1 tais que $\ln c = 4 \ln d$. Determina o conjunto dos números reais que são soluções da inequação $d^k \lessgtr c^{1/k}$. 2. Fórmula e regras importantes: - Sabemos que $\ln c = 4 \ln d$ implica $c = e^{\ln c} = e^{4 \ln d} = (e^{\ln d})^4 = d^4$. - A inequação é $d^k \lessgtr c^{1/k}$, substituindo $c$ por $d^4$ temos $d^k \lessgtr (d^4)^{1/k} = d^{4/k}$. - Como $d > 1$, a função $d^x$ é estritamente crescente, então a inequação $d^k \lessgtr d^{4/k}$ é equivalente a $k \lessgtr \frac{4}{k}$. 3. Resolução da inequação $k \lessgtr \frac{4}{k}$: - Multiplicamos ambos os lados por $k$, mas devemos considerar o sinal de $k$ para o sentido da inequação. - Caso 1: $k > 0$: $$k \lessgtr \frac{4}{k} \implies k^2 \lessgtr 4$$ $$\Rightarrow k^2 - 4 \lessgtr 0$$ $$\Rightarrow (k - 2)(k + 2) \lessgtr 0$$ Como $k > 0$, descartamos $k < 0$, então a solução é $0 < k < 2$ para $<$ e $k > 2$ para $>$. - Caso 2: $k < 0$: Multiplicando por $k < 0$ inverte o sinal: $$k \lessgtr \frac{4}{k} \implies k^2 \gtrless 4$$ $$\Rightarrow k^2 - 4 \gtrless 0$$ $$\Rightarrow (k - 2)(k + 2) \gtrless 0$$ Como $k < 0$, a solução é $k < -2$ para $<$ e $-2 < k < 0$ para $>$. 4. Conclusão: - Para $d^k < c^{1/k}$, o conjunto solução é $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$. - Para $d^k > c^{1/k}$, o conjunto solução é $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$. Resposta final em notação de intervalos: - $d^k < c^{1/k} \Rightarrow k \in (-\infty, -2) \cup (0, 2)$ - $d^k > c^{1/k} \Rightarrow k \in (-2, 0) \cup (2, +\infty)$