1. Vamos resolver a inequação $$x^2 e^x + x e^{x+1} \geq 0$$. 2. Primeiro, fatoramos a expressão para simplificar: $$x^2 e^x + x e^{x+1} = x e^x (x + e)$$ 3. A inequação fica: $$x e^x (x + e) \geq 0$$ 4. Sabemos que $$e^x > 0$$ para todo $$x$$, então o sinal da expressão depende de $$x$$ e $$x + e$$. 5. Analisamos os fatores: - $$x \geq 0$$ ou $$x < 0$$ - $$x + e \geq 0 \Rightarrow x \geq -e$$ 6. Para que o produto seja maior ou igual a zero, os fatores devem ser ambos positivos ou ambos negativos. 7. Caso 1: $$x \geq 0$$ e $$x + e \geq 0$$ (sempre verdadeiro para $$x \geq 0$$) 8. Caso 2: $$x < 0$$ e $$x + e < 0 \Rightarrow x < -e$$ 9. Portanto, a solução da inequação é: $$x \in (-\infty, -e) \cup [0, +\infty)$$ 10. Resumo: A inequação $$x^2 e^x + x e^{x+1} \geq 0$$ é satisfeita para $$x < -e$$ ou $$x \geq 0$$.