1. **Énoncé du problème 25** : Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $2 < x < y$. 2. **Exprimer $|x - y|$ et $|x + y - 4|$ sans valeur absolue** : - Puisque $x < y$, on a $x - y < 0$, donc $|x - y| = y - x$. - Pour $|x + y - 4|$, comme $x > 2$ et $y > x$, on a $x + y > 4$, donc $|x + y - 4| = x + y - 4$. 3. **Comparer $|x - y|$ et $|x + y - 4|$** : - On compare $y - x$ et $x + y - 4$. - Soustrayons $y$ des deux côtés : $-x$ vs $x - 4$. - Comme $x > 2$, $x - 4 < 0$ et $-x < 0$. - Plus précisément, $y - x < x + y - 4$ car $y - x - (x + y - 4) = -2x + 4 < 0$ pour $x > 2$. --- 4. **Énoncé du problème 26** : On a $\frac{3}{4} \leq \frac{2}{5} \leq \frac{a + 1}{3}$. 5. **Encadrer $a$** : - $\frac{2}{5} \leq \frac{a + 1}{3}$ implique $3 \times \frac{2}{5} \leq a + 1$ donc $\frac{6}{5} \leq a + 1$. - Donc $a \geq \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$. --- 6. **Énoncé du problème 27** : - $A = \frac{a^2 + 1}{a^2}$ et $B = \frac{2(a^2 - 1)}{a^2}$. 7. **Encadrement de $A$ et $B$** : - Comme $a \geq \frac{1}{5} > 0$, $a^2 > 0$. - $A = 1 + \frac{1}{a^2}$. - $B = 2 - \frac{2}{a^2}$. - Pour $a \geq \frac{1}{5}$, $\frac{1}{a^2} \leq 25$. - Donc $A \in [1 + 1, 1 + 25] = [2, 26]$ et $B \in [2 - 50, 2 - 2] = [-48, 0]$. 8. **Comparer $A$ et $B$** : - $A - B = 1 + \frac{1}{a^2} - 2 + \frac{2}{a^2} = -1 + \frac{3}{a^2}$. - Comme $a^2 > 0$, $A - B > 0$ donc $A > B$. --- 9. **Montrer les inégalités pour $a,b > 0$** : 10. $1^\circ$ : $a^2 + b^2 \geq 2ab$ est l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou bien $(a - b)^2 \geq 0$. 11. $2^\circ$ : $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ découle de $\left(\sqrt{\frac{a}{b}} - \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 \geq 0$. 12. $3^\circ$ : $\frac{1}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ car $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} > \frac{1}{a+b}$ puisque $ab > 0$. --- 13. **Problème 28** : Comparer $a = \sqrt{x^2 + 1}$ et $b = x$ selon $x$. 14. Comme $\sqrt{x^2 + 1} > |x|$, on a : - Si $x \geq 0$, $a > b$. - Si $x < 0$, $a > -x > x = b$. - Donc toujours $a > b$ sauf si $x=0$ où $a=1 > 0 = b$. --- 15. **Problème 29** : Montrer que pour tout réel $x$, $$\frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}} > 2.$$ 16. Posons $t = \sqrt{x^2 + 4} > 0$, alors $x^2 = t^2 - 4$. 17. L'expression devient $$\frac{t^2 - 4 + 5}{t} = \frac{t^2 + 1}{t} = t + \frac{1}{t}.$$ 18. Par l'inégalité AM-GM, $t + \frac{1}{t} \geq 2$ avec égalité si et seulement si $t=1$. 19. Or $t = \sqrt{x^2 + 4} \geq 2 > 1$, donc strictement $t + \frac{1}{t} > 2$. 20. Conclusion : $$\frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}} > 2$$ pour tout réel $x$.