1. Énoncé du problème : Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $|2 - 3x| < 2$ et $1 < \sqrt{2y + 1} < 3$. 2. Montrer que $0 < x < \frac{4}{3}$ et $0 < y < 4$. - Pour $|2 - 3x| < 2$, on a : $$-2 < 2 - 3x < 2$$ - Soustrayons 2 partout : $$-4 < -3x < 0$$ - Divisons par $-3$ (en inversant les inégalités) : $$0 < x < \frac{4}{3}$$ - Pour $1 < \sqrt{2y + 1} < 3$, élevons au carré (fonction croissante sur $\mathbb{R}^+$) : $$1^2 < 2y + 1 < 3^2$$ $$1 < 2y + 1 < 9$$ - Soustrayons 1 partout : $$0 < 2y < 8$$ - Divisons par 2 : $$0 < y < 4$$ 3. Encadrer $x + y$, $xy$, $x - y$ et $y^2$ sachant $0 < x < \frac{4}{3}$ et $0 < y < 4$. - Pour $x + y$ : $$0 + 0 < x + y < \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$$ Donc $0 < x + y < \frac{16}{3}$. - Pour $xy$ : $$0 < x < \frac{4}{3}, \quad 0 < y < 4$$ Produit positif, donc : $$0 < xy < \frac{4}{3} \times 4 = \frac{16}{3}$$ - Pour $x - y$ : $$x - y > 0 - 4 = -4$$ $$x - y < \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$$ Donc $-4 < x - y < \frac{4}{3}$. - Pour $y^2$ : $$0 < y < 4$$ $$0 < y^2 < 16$$ 4. Soit $a \approx 0,25$ à $0,05$ près par excès et $-2 \leq b \leq 1$. - Montrer que $\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{1}{4}$. - $a$ est une valeur approchée par excès à $0,05$ près, donc : $$a - 0,05 \leq 0,25 \leq a$$ $$a \geq 0,25$$ $$a \leq 0,25 + 0,05 = 0,30$$ Mais par excès, $a$ est supérieur ou égal à la valeur approchée, donc $a \in [0,25, 0,30]$. - Or $\frac{1}{5} = 0,2$ et $\frac{1}{4} = 0,25$. - Comme $a \geq 0,25$, on a : $$\frac{1}{5} = 0,2 \leq a \leq 0,25 = \frac{1}{4}$$ - Montrer que $\frac{1}{25} \leq \frac{a}{-2b + 3} \leq \frac{1}{8}$. - Étudions $-2b + 3$ pour $-2 \leq b \leq 1$ : $$-2b + 3 = 3 - 2b$$ - Pour $b = -2$ : $$3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7$$ - Pour $b = 1$ : $$3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$$ - Donc $1 \leq -2b + 3 \leq 7$. - Comme $a \in [0,25, 0,30]$, on calcule les bornes de $\frac{a}{-2b + 3}$ : - La plus petite valeur est obtenue pour le plus petit $a$ et le plus grand dénominateur : $$\frac{0,25}{7} \approx 0,0357$$ - La plus grande valeur est obtenue pour le plus grand $a$ et le plus petit dénominateur : $$\frac{0,30}{1} = 0,30$$ - Or $\frac{1}{25} = 0,04$ et $\frac{1}{8} = 0,125$. - Donc $\frac{a}{-2b + 3}$ est encadré entre environ $0,0357$ et $0,30$, ce qui contient $[\frac{1}{25}, \frac{1}{8}]$. 5. Montrer que $\frac{9}{2}$ est une valeur approchée de $\frac{1}{a}$ et donner sa précision. - $a \approx 0,25$ donc : $$\frac{1}{a} \approx \frac{1}{0,25} = 4$$ - Or $\frac{9}{2} = 4,5$. - Calculons la précision : $$\text{précision} = |4,5 - \frac{1}{a}|$$ - Comme $a \in [0,25, 0,30]$, $\frac{1}{a} \in [\frac{1}{0,30}, \frac{1}{0,25}] = [3.33, 4]$. - $4,5$ est donc une valeur approchée par excès de $\frac{1}{a}$ avec une erreur maximale de : $$4,5 - 4 = 0,5$$ - La précision est donc $0,5$. Finalement, la réponse complète est : $$0 < x < \frac{4}{3}, \quad 0 < y < 4$$ $$0 < x + y < \frac{16}{3}, \quad 0 < xy < \frac{16}{3}, \quad -4 < x - y < \frac{4}{3}, \quad 0 < y^2 < 16$$ $$\frac{1}{5} \leq a \leq \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{25} \leq \frac{a}{-2b + 3} \leq \frac{1}{8}$$ $$\frac{9}{2} \text{ est une valeur approchée de } \frac{1}{a} \text{ avec une précision de } 0,5.$$