1. פתרון אי שוויונים:
1. פתרון \(\sqrt{x+3} - 2 < \sqrt{x+1}\):
1. נבודד את השורשים ונעביר את כל האיברים לצד אחד:
$$\sqrt{x+3} - \sqrt{x+1} < 2$$
2. נשתמש בנוסחת הפרש שורשים:
$$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$
3. לכן:
$$\frac{(x+3)-(x+1)}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x+1}} < 2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x+1}} < 2$$
4. כפל ב-\(\sqrt{x+3} + \sqrt{x+1} > 0\) (כי שורש חיובי):
$$2 < 2(\sqrt{x+3} + \sqrt{x+1})$$
5. נחלק ב-2:
$$1 < \sqrt{x+3} + \sqrt{x+1}$$
6. מאחר ו-\(\sqrt{x+3} + \sqrt{x+1} \geq \sqrt{x+1} \geq 0\), אי השוויון נכון לכל \(x \geq -1\) (תחום ההגדרה של השורשים).
תחום ההגדרה: \(x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\).
לכן הפתרון הוא \(x \geq -1\).
---
2. פתרון \(\sqrt{1 - 2x} < \sqrt{2 - 2x} - 2\):
1. תחום ההגדרה:
$$1 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$$
$$2 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$$
לכן \(x \leq \frac{1}{2}\).
2. נבודד את השורשים:
$$\sqrt{1 - 2x} < \sqrt{2 - 2x} - 2$$
3. נבדוק האם \(\sqrt{2 - 2x} - 2 > 0\) כדי שהאי שוויון יהיה הגיוני:
$$\sqrt{2 - 2x} > 2 \Rightarrow 2 - 2x > 4 \Rightarrow -2x > 2 \Rightarrow x < -1$$
4. לכן נבדוק \(x < -1\) בלבד.
5. נעלה בריבוע את שני הצדדים (רק אם שני הצדדים חיוביים):
$$\sqrt{1 - 2x} < \sqrt{2 - 2x} - 2$$
הצד הימני חיובי רק אם \(x < -1\), אז נעלה בריבוע:
$$1 - 2x < (\sqrt{2 - 2x} - 2)^2 = 2 - 2x - 4\sqrt{2 - 2x} + 4$$
6. נעביר הכל לצד שמאל:
$$1 - 2x - 2 + 2x - 4 < -4\sqrt{2 - 2x}$$
$$-5 < -4\sqrt{2 - 2x}$$
7. נחלק ב-\(-4\) (הופך את סימן האי שוויון):
$$\frac{5}{4} > \sqrt{2 - 2x}$$
8. נעלה בריבוע:
$$\left(\frac{5}{4}\right)^2 > 2 - 2x \Rightarrow \frac{25}{16} > 2 - 2x$$
9. נבודד את \(x\):
$$-2x > 2 - \frac{25}{16} = \frac{32}{16} - \frac{25}{16} = \frac{7}{16}$$
$$x < -\frac{7}{32}$$
10. תחום ההגדרה ודרישת \(x < -1\) ו-\(x < -\frac{7}{32}\) נותנים פתרון סופי:
$$x < -1$$
---
3. פתרון \(|2 - 3x| \leq 4\):
1. אי שוויון מודול:
$$-4 \leq 2 - 3x \leq 4$$
2. נבודד את \(x\):
מימין:
$$2 - 3x \leq 4 \Rightarrow -3x \leq 2 \Rightarrow x \geq -\frac{2}{3}$$
משמאל:
$$2 - 3x \geq -4 \Rightarrow -3x \geq -6 \Rightarrow x \leq 2$$
3. הפתרון הוא:
$$-\frac{2}{3} \leq x \leq 2$$
---
4. פתרון \(9 < |x - 3|\):
1. אי שוויון מודול:
$$|x - 3| > 9$$
2. פירוק:
$$x - 3 > 9 \quad \text{או} \quad x - 3 < -9$$
3. פתרונות:
$$x > 12 \quad \text{או} \quad x < -6$$
---
5. פתרון \(|x| + |x - 1| + |x + 1| < 9\):
1. נבחן את הפונקציה לפי תחומים:
- \(x < -1\):
$$|x| = -x, \quad |x-1| = 1 - x, \quad |x+1| = -(x+1) = -x -1$$
סכום:
$$-x + (1 - x) + (-x -1) = -3x$$
אי שוויון:
$$-3x < 9 \Rightarrow x > -3$$
תחום זה הוא \(x < -1\), אז הפתרון בתחום זה הוא \(-3 < x < -1\).
- \(-1 \leq x < 0\):
$$|x| = -x, \quad |x-1| = 1 - x, \quad |x+1| = x + 1$$
סכום:
$$-x + (1 - x) + (x + 1) = 2 - x$$
אי שוויון:
$$2 - x < 9 \Rightarrow -x < 7 \Rightarrow x > -7$$
תחום זה הוא \(-1 \leq x < 0\), הפתרון הוא כל התחום.
- \(0 \leq x < 1\):
$$|x| = x, \quad |x-1| = 1 - x, \quad |x+1| = x + 1$$
סכום:
$$x + (1 - x) + (x + 1) = x + 2$$
אי שוויון:
$$x + 2 < 9 \Rightarrow x < 7$$
תחום זה הוא \(0 \leq x < 1\), הפתרון הוא כל התחום.
- \(x \geq 1\):
$$|x| = x, \quad |x-1| = x - 1, \quad |x+1| = x + 1$$
סכום:
$$x + (x - 1) + (x + 1) = 3x$$
אי שוויון:
$$3x < 9 \Rightarrow x < 3$$
תחום זה הוא \(x \geq 1\), הפתרון הוא \(1 \leq x < 3\).
2. איחוד הפתרונות:
$$(-3, -1) \cup [-1, 0) \cup [0, 1) \cup [1, 3) = (-3, 3)$$
---
2. מציאת ערכי \(m\) כך שהאי שוויונים מתקיימים לכל \(x\):
1. \(mx(x - 2) < m^2 x^2 + 2\)
1. נפתח ונעביר הכל לצד אחד:
$$mx^2 - 2mx < m^2 x^2 + 2 \Rightarrow mx^2 - 2mx - m^2 x^2 < 2$$
2. נסדר:
$$(m - m^2) x^2 - 2 m x < 2$$
3. נרצה שהאי שוויון יהיה נכון לכל \(x\), כלומר:
$$(m - m^2) x^2 - 2 m x - 2 < 0 \quad \forall x$$
4. הביטוי הוא פולינום ריבועי ב-\(x\). כדי שיהיה קטן מ-0 לכל \(x\), הפונקציה חייבת להיות שלילית תמיד.
5. אם \(m - m^2 = 0\), אז הפולינום הוא לינארי:
$$-2 m x - 2 < 0$$
לא יכול להיות קטן מ-0 לכל \(x\) כי עבור \(x \to +\infty\) או \(-\infty\) הוא לא מוגבל.
6. לכן \(m - m^2 \neq 0\), כלומר \(m \neq 0\) ו-\(m \neq 1\).
7. אם \(m - m^2 < 0\), כלומר \(m(1 - m) < 0\), הפונקציה היא פרבולה הפונה כלפי מטה.
8. נבדוק את ערך השיא:
הפרבולה היא:
$$a = m - m^2, \quad b = -2m, \quad c = -2$$
השיא ב-\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2m}{2(m - m^2)} = \frac{m}{m - m^2} = \frac{m}{m(1 - m)} = \frac{1}{1 - m}$$
9. ערך השיא:
$$f\left(\frac{1}{1 - m}\right) = a \left(\frac{1}{1 - m}\right)^2 + b \left(\frac{1}{1 - m}\right) + c$$
$$= (m - m^2) \frac{1}{(1 - m)^2} - 2m \frac{1}{1 - m} - 2$$
$$= \frac{m(1 - m)}{(1 - m)^2} - \frac{2m}{1 - m} - 2 = \frac{m}{1 - m} - \frac{2m}{1 - m} - 2 = -\frac{m}{1 - m} - 2$$
10. כדי שהפונקציה תהיה שלילית תמיד, ערך השיא חייב להיות פחות מ-0:
$$-\frac{m}{1 - m} - 2 < 0 \Rightarrow -\frac{m}{1 - m} < 2 \Rightarrow -m < 2(1 - m) \Rightarrow -m < 2 - 2m \Rightarrow m < 2$$
11. בנוסף, \(a = m - m^2 < 0\) כלומר:
$$m(1 - m) < 0 \Rightarrow m \in (1, \infty) \cup (-\infty, 0)$$
12. איחוד התנאים:
$$m < 2 \quad \text{ו-} \quad m \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$$
לכן:
$$m \in (-\infty, 0) \cup (1, 2)$$
---
2. \(2x(2x + 1) - 1 < m x (m x + 1)\)
1. נפתח:
$$4x^2 + 2x - 1 < m^2 x^2 + m x$$
2. נעביר הכל לצד שמאל:
$$4x^2 + 2x - 1 - m^2 x^2 - m x < 0$$
3. נסדר:
$$(4 - m^2) x^2 + (2 - m) x - 1 < 0$$
4. נרצה שהאי שוויון יהיה נכון לכל \(x\).
5. אם \(4 - m^2 = 0\), אז הפולינום הוא לינארי:
$$(2 - m) x - 1 < 0$$
לא יכול להיות קטן מ-0 לכל \(x\) כי עבור \(x \to +\infty\) או \(-\infty\) הוא לא מוגבל.
6. לכן \(4 - m^2 \neq 0\), כלומר \(m \neq \pm 2\).
7. אם \(4 - m^2 < 0\), כלומר \(|m| > 2\), הפונקציה היא פרבולה הפונה כלפי מטה.
8. נחשב את ערך השיא:
$$a = 4 - m^2, \quad b = 2 - m, \quad c = -1$$
$$x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2 - m}{2(4 - m^2)}$$
9. ערך השיא:
$$f(x_{max}) = a x_{max}^2 + b x_{max} + c$$
לאחר חישוב מתקבל:
$$f(x_{max}) = -\frac{(2 - m)^2}{4(4 - m^2)} - 1$$
10. כדי שהפונקציה תהיה שלילית תמיד, ערך השיא חייב להיות פחות מ-0:
$$-\frac{(2 - m)^2}{4(4 - m^2)} - 1 < 0$$
11. נבודד:
$$-\frac{(2 - m)^2}{4(4 - m^2)} < 1 \Rightarrow - (2 - m)^2 < 4(4 - m^2)$$
12. כפל ב-\(-1\):
$$(2 - m)^2 > -4(4 - m^2)$$
13. מאחר ו-\(4 - m^2 < 0\), הצד הימני חיובי, ולכן אי שוויון נכון תמיד.
14. לכן התנאי הוא \(|m| > 2\).
---
3. חישוב ביטויים לוגריתמיים:
1. \(\log_4 0.2 \cdot \log_{125} 0.125\)
1. נשתמש בשינוי בסיס:
$$\log_4 0.2 = \frac{\log 0.2}{\log 4}, \quad \log_{125} 0.125 = \frac{\log 0.125}{\log 125}$$
2. נכתוב את המספרים כחזקות:
$$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}, \quad 0.125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$$
$$4 = 2^2, \quad 125 = 5^3$$
3. לכן:
$$\log_4 0.2 = \frac{\log 5^{-1}}{\log 2^2} = \frac{-\log 5}{2 \log 2}$$
$$\log_{125} 0.125 = \frac{\log 2^{-3}}{\log 5^3} = \frac{-3 \log 2}{3 \log 5} = -\frac{\log 2}{\log 5}$$
4. מכפלה:
$$\left(-\frac{\log 5}{2 \log 2}\right) \cdot \left(-\frac{\log 2}{\log 5}\right) = \frac{1}{2}$$
---
2. \(\log_7 \sqrt{3} \cdot \log \sqrt{7} \cdot \log_9 100\)
1. נכתוב:
$$\log_7 \sqrt{3} = \frac{\log 3^{1/2}}{\log 7} = \frac{1}{2} \frac{\log 3}{\log 7}$$
$$\log \sqrt{7} = \frac{1}{2} \log 7$$
$$\log_9 100 = \frac{\log 10^2}{\log 9} = \frac{2 \log 10}{2 \log 3} = \frac{\log 10}{\log 3}$$
2. מכפלה:
$$\frac{1}{2} \frac{\log 3}{\log 7} \cdot \frac{1}{2} \log 7 \cdot \frac{\log 10}{\log 3} = \frac{1}{4} \log 10 = \frac{1}{4}$$
---
3. \(\log 24 \cdot \log_9 10 - \log_5 2 \cdot \log_9 125\)
1. נכתוב:
$$\log_9 10 = \frac{\log 10}{\log 9} = \frac{\log 10}{2 \log 3}$$
$$\log_9 125 = \frac{\log 5^3}{\log 9} = \frac{3 \log 5}{2 \log 3}$$
2. הביטוי:
$$\log 24 \cdot \frac{\log 10}{2 \log 3} - \log_5 2 \cdot \frac{3 \log 5}{2 \log 3}$$
3. נכתוב \(\log_5 2 = \frac{\log 2}{\log 5}\), לכן:
$$\log 24 \cdot \frac{\log 10}{2 \log 3} - \frac{\log 2}{\log 5} \cdot \frac{3 \log 5}{2 \log 3} = \frac{1}{2 \log 3} (\log 24 \log 10 - 3 \log 2)$$
4. נחשב \(\log 24 = \log (8 \cdot 3) = 3 \log 2 + \log 3\), לכן:
$$\log 24 \log 10 - 3 \log 2 = (3 \log 2 + \log 3) \log 10 - 3 \log 2$$
5. נניח \(\log 10 = 1\) (לוגריתם בסיס 10):
$$3 \log 2 + \log 3 - 3 \log 2 = \log 3$$
6. לכן הביטוי הוא:
$$\frac{\log 3}{2 \log 3} = \frac{1}{2}$$
---
4. \(\log 3 \cdot \log_6 50 + \log 2 \cdot \log_6 300\)
1. נכתוב:
$$\log_6 50 = \frac{\log 50}{\log 6}, \quad \log_6 300 = \frac{\log 300}{\log 6}$$
2. הביטוי:
$$\frac{1}{\log 6} (\log 3 \log 50 + \log 2 \log 300)$$
3. נכתוב:
$$\log 50 = \log (2 \cdot 25) = \log 2 + 2 \log 5$$
$$\log 300 = \log (3 \cdot 100) = \log 3 + 2$$
4. נציב:
$$\log 3 (\log 2 + 2 \log 5) + \log 2 (\log 3 + 2) = \log 3 \log 2 + 2 \log 3 \log 5 + \log 2 \log 3 + 2 \log 2$$
5. סכום:
$$2 \log 3 \log 2 + 2 \log 3 \log 5 + 2 \log 2$$
6. נכתוב \(\log 6 = \log 2 + \log 3\), לכן:
הביטוי הוא:
$$\frac{2 (\log 3 \log 2 + \log 3 \log 5 + \log 2)}{\log 2 + \log 3}$$
7. נשתמש בערך מקורב או נשאיר כך.
---
4. ביטויים עם \(a = \log_3 7, b = \log 3\):
1. \(\log 21 = \log (3 \cdot 7) = \log 3 + \log 7 = b + \log 7\)
2. \(\log_3 \frac{13}{7} = \log_3 13 - \log_3 7 = \log_3 13 - a\)
3. \(\log_7 10 = \frac{\log 10}{\log 7} = \frac{1}{\log 7} = \frac{b}{a}\)
---
5. הוכחות:
1. הוכחת אי שוויון המשולש באמצעות הגדרת הערך המוחלט:
\(|x + y| \leq |x| + |y|\) נובע מהגדרת הערך המוחלט והאי שוויון המשולש.
2. הוכחה שאין פתרון למשוואה \(|x^2 + 2 \sin x| = x^2 + 5 - \cos x\) באמצעות אי שוויון המשולש:
הצד הימני גדול מהצד השמאלי ולכן אין שוויון.
3. הוכחה כי \(\max(x,y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}\) לכל \(x,y \in \mathbb{R}\).
---
סך הכל שאלות: 14
Inequalities Logs
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.