1. **Énoncé du problème :** Soit $x$ un nombre réel tel que $x < 3$. Montrer que $2x + 3 > -5$ et $\sqrt{x + 13} < 4$. 2. **Inégalités à démontrer :** - $2x + 3 > -5$ - $\sqrt{x + 13} < 4$ 3. **Démonstration de la première inégalité $2x + 3 > -5$ :** - Partons de l'inégalité $2x + 3 > -5$. - Soustrayons 3 des deux côtés : $2x > -8$. - Divisons par 2 (positif, donc sens de l'inégalité conservé) : $x > -4$. 4. **Vérification avec la condition $x < 3$ :** - L'intervalle de $x$ est donc $-4 < x < 3$. - Comme $x$ est un nombre réel tel que $x < 3$, pour que $2x + 3 > -5$, il faut que $x > -4$. - Si $x$ respecte $-4 < x < 3$, alors $2x + 3 > -5$ est vrai. 5. **Démonstration de la deuxième inégalité $\sqrt{x + 13} < 4$ :** - Pour que $\sqrt{x + 13}$ soit défini, il faut $x + 13 \geq 0 \Rightarrow x \geq -13$. - L'inégalité $\sqrt{x + 13} < 4$ équivaut à $x + 13 < 16$ (car $4^2 = 16$). - Donc $x < 3$. 6. **Conclusion sur la deuxième inégalité :** - La condition $x < 3$ est donnée. - De plus, $x \geq -13$ pour que la racine carrée soit définie. - Donc, pour $x$ dans $[-13, 3)$, on a $\sqrt{x + 13} < 4$. **Réponse finale :** - Si $x$ est un réel tel que $-4 < x < 3$, alors $2x + 3 > -5$. - Si $x$ est un réel tel que $-13 \leq x < 3$, alors $\sqrt{x + 13} < 4$.