1. **Énoncé du problème :** Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que $x \geq 2$, $y \leq 1$ et $x - y = 4$. 2. **Partie a : Montrer que $A = 3$ avec $A = \sqrt{(x - 2)^2} + \sqrt{(y - 1)^2}$** - On sait que $\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$ et $\sqrt{(y - 1)^2} = |y - 1|$. - Donc, $A = |x - 2| + |y - 1|$. - Comme $x \geq 2$, $x - 2 \geq 0$ donc $|x - 2| = x - 2$. - Comme $y \leq 1$, $y - 1 \leq 0$ donc $|y - 1| = -(y - 1) = 1 - y$. - Donc, $A = (x - 2) + (1 - y) = x - y - 1$. - Or, $x - y = 4$, donc $A = 4 - 1 = 3$. 3. **Partie b : Montrer que $2 \leq x \leq 5$ et $-2 \leq y \leq 1$** - On a $x - y = 4$. - Sachant $x \geq 2$ et $y \leq 1$, on cherche les bornes supérieures et inférieures. - Pour $x$, la borne supérieure est obtenue quand $y$ est minimale. - Comme $y \leq 1$, la plus petite valeur possible de $y$ pour respecter $x - y = 4$ est quand $y$ est au plus bas. - Posons $y = -2$ (à vérifier si possible) : alors $x = 4 + y = 4 - 2 = 2$, ce qui respecte $x \geq 2$. - Pour $y$, la borne inférieure est $-2$ et la borne supérieure est $1$ donnée. - Pour $x$, la borne supérieure est quand $y = 1$, donc $x = 4 + 1 = 5$. - Ainsi, $2 \leq x \leq 5$ et $-2 \leq y \leq 1$. 4. **Partie c : Encadrer $x + y$, $x - y$, $xy$, $x^2 + y^2$** - On sait $x - y = 4$ (fixe). - Pour $x + y$ : - $x + y = (x - y) + 2y = 4 + 2y$. - Comme $y \in [-2,1]$, $x + y \in [4 + 2(-2), 4 + 2(1)] = [0, 6]$. - Pour $xy$ : - $x = y + 4$ donc $xy = y(y + 4) = y^2 + 4y$. - $y \in [-2,1]$, calculons $y^2 + 4y$ sur cet intervalle. - Dérivée : $2y + 4$, s'annule en $y = -2$. - Aux bornes : - $y = -2$, $xy = 4 - 8 = -4$. - $y = 1$, $xy = 1 + 4 = 5$. - Donc $xy \in [-4, 5]$. - Pour $x^2 + y^2$ : - $x = y + 4$, donc $x^2 + y^2 = (y + 4)^2 + y^2 = y^2 + 8y + 16 + y^2 = 2y^2 + 8y + 16$. - Étudions $f(y) = 2y^2 + 8y + 16$ sur $[-2,1]$. - Dérivée : $4y + 8$, s'annule en $y = -2$. - Valeurs aux bornes : - $y = -2$, $f(-2) = 2(4) - 16 + 16 = 8 - 16 + 16 = 8$. - $y = 1$, $f(1) = 2 + 8 + 16 = 26$. - Donc $x^2 + y^2 \in [8, 26]$. 5. **Partie d : Montrer que $B = 12$ avec $B = |x + y| + |-2x + 4y|$** - Calculons $B$ : - $B = |x + y| + |-2x + 4y|$. - Remplaçons $x$ par $y + 4$ : - $x + y = y + 4 + y = 2y + 4$. - $-2x + 4y = -2(y + 4) + 4y = -2y - 8 + 4y = 2y - 8$. - Donc $B = |2y + 4| + |2y - 8|$. - Étudions les signes : - $2y + 4 = 2(y + 2)$, nul en $y = -2$. - $2y - 8 = 2(y - 4)$, nul en $y = 4$ (hors intervalle). - Sur $y \in [-2,1]$ : - $2y + 4 \geq 0$ (car $y \geq -2$), donc $|2y + 4| = 2y + 4$. - $2y - 8 \leq 0$ (car $y \leq 1 < 4$), donc $|2y - 8| = -(2y - 8) = 8 - 2y$. - Donc $B = (2y + 4) + (8 - 2y) = 12$. **Réponse finale :** - a. $A = 3$ - b. $2 \leq x \leq 5$ et $-2 \leq y \leq 1$ - c. $x + y \in [0,6]$, $x - y = 4$, $xy \in [-4,5]$, $x^2 + y^2 \in [8,26]$ - d. $B = 12$