1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $$-1 \leq \frac{2x}{1+x^2} \leq 1.$$ 2. **Formule et règles importantes :** La fonction $g(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ est une fonction rationnelle. Pour étudier ses bornes, on peut analyser son comportement en étudiant le signe et les valeurs extrêmes. 3. **Travail intermédiaire :** Calculons $g(x)$ et montrons que $|g(x)| \leq 1$. Considérons l'inégalité $\left| \frac{2x}{1+x^2} \right| \leq 1$. Cela équivaut à $$\left| 2x \right| \leq |1+x^2|,$$ mais comme $1+x^2 > 0$ pour tout $x$, on a $$|2x| \leq 1+x^2.$$ 4. **Simplification :** On a $$|2x| \leq 1 + x^2 \iff - (1+x^2) \leq 2x \leq 1 + x^2.$$ La partie gauche est toujours vraie car $-(1+x^2) \leq 2x$ pour tout $x$ (car $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \geq 0$). La partie droite est $$2x \leq 1 + x^2 \iff 0 \leq 1 + x^2 - 2x = (x-1)^2,$$ qui est vraie pour tout $x$. 5. **Conclusion :** Ainsi, $$-1 \leq \frac{2x}{1+x^2} \leq 1$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 6. **Valeurs d'égalité :** L'égalité $\frac{2x}{1+x^2} = 1$ se produit lorsque $$2x = 1 + x^2 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x-1)^2 = 0 \iff x=1.$$ L'égalité $\frac{2x}{1+x^2} = -1$ se produit lorsque $$2x = - (1 + x^2) \iff x^2 + 2x + 1 = 0 \iff (x+1)^2 = 0 \iff x = -1.$$ **Réponse finale :** $$\boxed{-1 \leq \frac{2x}{1+x^2} \leq 1, \quad \text{avec égalité pour } x=\pm 1.}$$