1. Задача: Решить неравенство $(-3x+7)(4x-9)\ge0$ методом интервалов. 2. Формула и правило: Произведение двух выражений неотрицательно, если оба выражения одновременно положительны или одновременно отрицательны, либо одно из них равно нулю. 3. Найдем нули каждого множителя: $$-3x+7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{3}$$ $$4x-9=0 \Rightarrow x=\frac{9}{4}$$ 4. Разобьем числовую ось на интервалы по точкам $x=\frac{7}{3}$ и $x=\frac{9}{4}$: $$(-\infty, \frac{7}{3}), \left(\frac{7}{3}, \frac{9}{4}\right), \left(\frac{9}{4}, +\infty\right)$$ 5. Проверим знак произведения на каждом интервале, подставляя тестовые точки: - Для $x=2$ (на интервале $\left(\frac{7}{3}, \frac{9}{4}\right)$): $$-3(2)+7=1 > 0$$ $$4(2)-9=-1 < 0$$ Произведение отрицательно. - Для $x=3$ (на интервале $\left(\frac{9}{4}, +\infty\right)$): $$-3(3)+7=-2 < 0$$ $$4(3)-9=3 > 0$$ Произведение отрицательно. - Для $x=2$ (на интервале $(-\infty, \frac{7}{3})$): $$-3(0)+7=7 > 0$$ $$4(0)-9=-9 < 0$$ Произведение отрицательно. Проверим еще раз, так как тестовые точки выбраны неверно (2 находится между $\frac{7}{3}\approx 2.33$ и $\frac{9}{4}=2.25$). Исправим выбор точек: - Для $x=2$ (на интервале $(-\infty, \frac{9}{4})$): $$-3(2)+7=1 > 0$$ $$4(2)-9=-1 < 0$$ Произведение отрицательно. - Для $x=3$ (на интервале $\left(\frac{9}{4}, +\infty\right)$): $$-3(3)+7=-2 < 0$$ $$4(3)-9=3 > 0$$ Произведение отрицательно. - Для $x=0$ (на интервале $(-\infty, \frac{7}{3})$): $$-3(0)+7=7 > 0$$ $$4(0)-9=-9 < 0$$ Произведение отрицательно. Похоже, что произведение отрицательно на всех интервалах, но это невозможно, так как в точках равенства произведение равно нулю. 6. Проверим порядок корней: $\frac{7}{3} \approx 2.33$, $\frac{9}{4} = 2.25$, значит $\frac{9}{4} < \frac{7}{3}$. 7. Перепишем интервалы с правильным порядком: $$(-\infty, \frac{9}{4}), \left(\frac{9}{4}, \frac{7}{3}\right), \left(\frac{7}{3}, +\infty\right)$$ 8. Проверим знаки на каждом интервале: - Для $x=2$ (на $(-\infty, \frac{9}{4})$): $$-3(2)+7=1 > 0$$ $$4(2)-9=-1 < 0$$ Произведение отрицательно. - Для $x=2.3$ (на $\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{3}\right)$): $$-3(2.3)+7=0.1 > 0$$ $$4(2.3)-9=0.2 > 0$$ Произведение положительно. - Для $x=3$ (на $\left(\frac{7}{3}, +\infty\right)$): $$-3(3)+7=-2 < 0$$ $$4(3)-9=3 > 0$$ Произведение отрицательно. 9. Итог: неравенство $(-3x+7)(4x-9)\ge0$ выполняется на интервале $\left[\frac{9}{4}, \frac{7}{3}\right]$. Ответ: $$x \in \left[\frac{9}{4}, \frac{7}{3}\right]$$