1. **Énoncé du problème :** Montrer que $3a^2 + 8\sqrt{3} a \geq -16$. 2. **Formule et règles importantes :** Nous allons utiliser la méthode du discriminant pour étudier l'expression quadratique en $a$. 3. **Travail intermédiaire :** Considérons l'expression $3a^2 + 8\sqrt{3} a + 16$. 4. **Complétons le carré :** $$3a^2 + 8\sqrt{3} a + 16 = 3\left(a^2 + \frac{8\sqrt{3}}{3} a\right) + 16$$ 5. **Calcul du terme à ajouter et soustraire pour compléter le carré :** $$\left(\frac{8\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{16 \times 3}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$$ 6. **Réécriture :** $$3\left(a^2 + \frac{8\sqrt{3}}{3} a + \frac{16}{3}\right) + 16 - 3 \times \frac{16}{3} = 3\left(a + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 16 - 16 = 3\left(a + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2$$ 7. **Conclusion :** Puisque $3\left(a + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 \geq 0$ pour tout $a$, on a $$3a^2 + 8\sqrt{3} a + 16 \geq 0 \implies 3a^2 + 8\sqrt{3} a \geq -16$$ **Réponse finale :** $$3a^2 + 8\sqrt{3} a \geq -16$$