1. Énoncé du problème : Résoudre l'inéquation $$f(x) - g(x) < 0$$ avec $$f(x) = - \frac{5x - 23}{x - 4}$$ et $$g(x) = \frac{3}{8} \sqrt{|x - 4|} - 5$$. 2. Formule et règles importantes : Pour résoudre $$f(x) - g(x) < 0$$, on écrit $$- \frac{5x - 23}{x - 4} - \left(\frac{3}{8} \sqrt{|x - 4|} - 5\right) < 0$$. 3. Simplification de l'inéquation : $$- \frac{5x - 23}{x - 4} - \frac{3}{8} \sqrt{|x - 4|} + 5 < 0$$ 4. Regroupons les termes constants : $$- \frac{5x - 23}{x - 4} + 5 < \frac{3}{8} \sqrt{|x - 4|}$$ 5. Mettons le membre de gauche sous un même dénominateur : $$5 = \frac{5(x - 4)}{x - 4} = \frac{5x - 20}{x - 4}$$ Donc : $$- \frac{5x - 23}{x - 4} + \frac{5x - 20}{x - 4} = \frac{- (5x - 23) + (5x - 20)}{x - 4} = \frac{-5x + 23 + 5x - 20}{x - 4} = \frac{3}{x - 4}$$ 6. L'inéquation devient : $$\frac{3}{x - 4} < \frac{3}{8} \sqrt{|x - 4|}$$ 7. On peut diviser par 3 (positif) sans changer le sens de l'inégalité : $$\frac{1}{x - 4} < \frac{1}{8} \sqrt{|x - 4|}$$ 8. Posons $$t = x - 4$$. L'inéquation est : $$\frac{1}{t} < \frac{1}{8} \sqrt{|t|}$$ 9. Étudions les cas selon le signe de $$t$$ : - Si $$t > 0$$, alors $$|t| = t$$ et $$\sqrt{|t|} = \sqrt{t}$$. L'inéquation devient : $$\frac{1}{t} < \frac{1}{8} \sqrt{t}$$ Multiplions par $$t > 0$$ : $$1 < \frac{t}{8} \sqrt{t} = \frac{t^{3/2}}{8}$$ Donc : $$8 < t^{3/2}$$ Élevons au carré la racine : $$t^{3/2} = (t^{1/2})^3 = (\sqrt{t})^3$$ Pour résoudre $$t^{3/2} > 8$$, on peut écrire : $$t^{3/2} > 8 = 2^3$$ Donc : $$t^{1/2} > 2$$ Ce qui donne : $$\sqrt{t} > 2 \Rightarrow t > 4$$ - Si $$t < 0$$, alors $$|t| = -t$$ et $$\sqrt{|t|} = \sqrt{-t}$$. L'inéquation est : $$\frac{1}{t} < \frac{1}{8} \sqrt{-t}$$ Ici, $$t < 0$$ donc $$\frac{1}{t} < 0$$. Le membre de droite est positif ou nul car racine carrée. Donc $$\frac{1}{t} < 0 < \frac{1}{8} \sqrt{-t}$$ est toujours vrai pour $$t < 0$$. 10. Résumé des solutions : - Pour $$t < 0$$, l'inéquation est vraie. - Pour $$t > 0$$, l'inéquation est vraie si $$t > 4$$. 11. En remplaçant $$t = x - 4$$ : - $$x - 4 < 0 \Rightarrow x < 4$$ - $$x - 4 > 4 \Rightarrow x > 8$$ 12. Attention, $$x = 4$$ est exclu car dénominateur nul dans $$f(x)$$. 13. Conclusion : La solution de $$f(x) - g(x) < 0$$ est $$x < 4 \quad \text{ou} \quad x > 8$$.