1. Énoncé du problème : Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > g(x)$ avec $f(x) = -x^2 + 4x$ et $g(x) = 2x - 2$. 2. Formule et règles importantes : Pour résoudre $f(x) > g(x)$, on étudie le signe de $f(x) - g(x)$. 3. Calcul de $f(x) - g(x)$ : $$f(x) - g(x) = (-x^2 + 4x) - (2x - 2) = -x^2 + 4x - 2x + 2 = -x^2 + 2x + 2$$ 4. Résolution graphique : On trace les courbes de $f$ et $g$ et on cherche où $f$ est au-dessus de $g$, c'est-à-dire où $f(x) - g(x) > 0$. 5. Montrer que $f(x) - g(x) = 3 - (x - 1)^2$ : $$f(x) - g(x) = -x^2 + 2x + 2 = -(x^2 - 2x - 2)$$ Complétons le carré : $$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$$ Donc : $$f(x) - g(x) = -[(x - 1)^2 - 1 - 2] = -[(x - 1)^2 - 3] = 3 - (x - 1)^2$$ 6. Factorisation de $f(x) - g(x)$ : $$3 - (x - 1)^2 = (\sqrt{3} - (x - 1))(\sqrt{3} + (x - 1))$$ 7. Résolution de l'inéquation $f(x) > g(x)$ : $$3 - (x - 1)^2 > 0 \iff (x - 1)^2 < 3$$ Ce qui donne : $$-\sqrt{3} < x - 1 < \sqrt{3}$$ Donc : $$1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3}$$ Réponse finale : L'inéquation $f(x) > g(x)$ est vérifiée pour $x \in ]1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}[$.