1. Le problème est de résoudre l'inéquation $$\frac{2x - 1}{1 - 4x} > 0$$. 2. Pour résoudre une inéquation de type fraction, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur. 3. Le numérateur est $2x - 1$. 4. Le dénominateur est $1 - 4x$. 5. Trouvons les racines du numérateur : $$2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$ 6. Trouvons les racines du dénominateur : $$1 - 4x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$$ 7. Ces valeurs divisent la droite réelle en intervalles : $]-\infty, \frac{1}{4}[$, $\{\frac{1}{4}\}$, $]\frac{1}{4}, \frac{1}{2}[$, $\{\frac{1}{2}\}$, $]\frac{1}{2}, +\infty[$. 8. Étudions le signe de la fraction sur chaque intervalle : - Pour $x < \frac{1}{4}$, numérateur $2x-1 < 0$, dénominateur $1-4x > 0$, donc fraction négative. - Pour $\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$, numérateur négatif, dénominateur négatif, fraction positive. - Pour $x > \frac{1}{2}$, numérateur positif, dénominateur négatif, fraction négative. 9. La fraction est strictement positive sur $]\frac{1}{4}, \frac{1}{2}[$. 10. Les points $x=\frac{1}{4}$ et $x=\frac{1}{2}$ rendent le dénominateur nul ou le numérateur nul, donc exclus. 11. Conclusion : $$S = ]\frac{1}{4}, \frac{1}{2}[$$$\quad$ est la solution de l'inéquation. 12. Parmi les propositions données, la solution correcte est $S = ]-\infty ; \frac{1}{4}[ \cup ]\frac{1}{2} ; +\infty[$ est fausse. 13. La bonne solution est $S = ]\frac{1}{4} ; \frac{1}{2}[$. 14. Donc, la réponse est correcte si vous avez choisi $S = ]\frac{1}{4} ; \frac{1}{2}[$.