1. **Énoncé du problème :** Résoudre l'inéquation $$\frac{2x^{2} - 5x + 3}{3x - 1} \geq 0.$$ 2. **Formule et règles importantes :** - Pour résoudre une inéquation de type fractionnelle, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur. - Le quotient est positif ou nul si le numérateur et le dénominateur sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, ou si le numérateur est nul (et le dénominateur non nul). - Il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur. 3. **Étude du numérateur :** $$2x^{2} - 5x + 3 = 0.$$ Calcul du discriminant : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1.$$ Racines : $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm 1}{4}.$$ Donc $$x_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5.$$ 4. **Étude du dénominateur :** $$3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}.$$ Cette valeur est exclue du domaine. 5. **Tableau de signes :** - Le polynôme $2x^{2} - 5x + 3$ est une parabole ouverte vers le haut (coefficient de $x^2$ positif). - Il est positif pour $x < 1$ et $x > 1.5$, négatif entre $1$ et $1.5$. - Le dénominateur $3x - 1$ est négatif pour $x < \frac{1}{3}$, positif pour $x > \frac{1}{3}$. 6. **Étude du signe de la fraction :** - Pour $x < \frac{1}{3}$ : numérateur positif si $x < 1$, donc positif, dénominateur négatif, donc fraction négative. - Pour $\frac{1}{3} < x < 1$ : numérateur positif, dénominateur positif, fraction positive. - Pour $1 < x < 1.5$ : numérateur négatif, dénominateur positif, fraction négative. - Pour $x > 1.5$ : numérateur positif, dénominateur positif, fraction positive. 7. **Valeurs où la fraction est nulle :** Numérateur nul en $x=1$ et $x=1.5$, fraction nulle si dénominateur non nul. 8. **Solution finale :** $$\boxed{\left[\frac{1}{3}, 1\right] \cup \left[1.5, +\infty\right)}$$ avec exclusion de $x=\frac{1}{3}$ car dénominateur nul, donc en fait $$\boxed{\left(\frac{1}{3}, 1\right] \cup \left[1.5, +\infty\right)}.$$