1. Énonçons le problème : Résoudre l'inéquation $$\frac{1}{x} \leq 5$$. 2. Rappelons la règle importante : pour résoudre une inéquation impliquant une fraction, il faut considérer le signe du dénominateur car multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. 3. Réécrivons l'inéquation : $$\frac{1}{x} \leq 5$$. 4. Soustrayons 5 des deux côtés pour obtenir une seule fraction : $$\frac{1}{x} - 5 \leq 0$$ 5. Mettons au même dénominateur : $$\frac{1 - 5x}{x} \leq 0$$ 6. L'inéquation devient : $$\frac{1 - 5x}{x} \leq 0$$ 7. Étudions le signe du numérateur et du dénominateur : - Numérateur : $$1 - 5x \leq 0 \Rightarrow 1 \leq 5x \Rightarrow x \geq \frac{1}{5}$$ - Dénominateur : $$x \neq 0$$ (car division par zéro impossible) 8. Pour que la fraction soit négative ou nulle, le numérateur et le dénominateur doivent avoir des signes opposés ou le numérateur être nul. 9. Cas 1 : numérateur nul $$1 - 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$$ 10. Cas 2 : fraction négative - Si $$x > 0$$, alors $$x > 0$$ (dénominateur positif), donc numérateur doit être $$\leq 0$$ pour que la fraction soit $$\leq 0$$. - Si $$x < 0$$, alors $$x < 0$$ (dénominateur négatif), donc numérateur doit être $$\geq 0$$ pour que la fraction soit $$\leq 0$$. 11. Résumons : - Pour $$x > 0$$, $$1 - 5x \leq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{5}$$ - Pour $$x < 0$$, $$1 - 5x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{5}$$ (toujours vrai car $$x < 0 < \frac{1}{5}$$) 12. Donc la solution est : $$x < 0$$ ou $$x \geq \frac{1}{5}$$ 13. En notation d'intervalle : $$(-\infty, 0) \cup \left[\frac{1}{5}, +\infty\right)$$ C'est la solution de l'inéquation $$\frac{1}{x} \leq 5$$.