1. Énonçons le problème : Résoudre l'inéquation $$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3} \geq 0$$. 2. Pour résoudre cette inéquation, mettons tous les termes sous un dénominateur commun, ici $$x^3$$, en rappelant que $$x \neq 0$$ car division par zéro interdite. 3. On écrit : $$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} + \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3}$$ 4. L'inéquation devient donc : $$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^3} \geq 0$$ 5. Factorisons le numérateur : $$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$$ 6. L'inéquation est maintenant : $$\frac{(x+1)^2}{x^3} \geq 0$$ 7. Étudions le signe du numérateur et du dénominateur : - Le numérateur $$(x+1)^2$$ est toujours positif ou nul (car carré). - Le dénominateur $$x^3$$ change de signe selon $$x$$ : positif si $$x > 0$$, négatif si $$x < 0$$. 8. Pour que la fraction soit positive ou nulle, il faut que le numérateur et le dénominateur aient le même signe ou que le numérateur soit nul. 9. Le numérateur est nul si $$x = -1$$. 10. Étudions les intervalles : - Pour $$x > 0$$, $$x^3 > 0$$ et $$(x+1)^2 \geq 0$$ donc fraction $$\geq 0$$. - Pour $$-1 < x < 0$$, $$x^3 < 0$$ mais $$(x+1)^2 > 0$$ donc fraction négative. - Pour $$x < -1$$, $$x^3 < 0$$ et $$(x+1)^2 > 0$$ donc fraction négative. - En $$x = -1$$, fraction vaut 0. 11. Résumons la solution : $$\boxed{\left\{x \in \mathbb{R}^* : x > 0 \right\} \cup \{ -1 \}}$$ 12. N'oublions pas que $$x \neq 0$$ car division par zéro interdite. Réponse finale : $$x > 0$$ ou $$x = -1$$.