1. Énonçons le problème : Résoudre l'inéquation $$\frac{4x + 7}{6x + 4} \geq \frac{\sqrt{15}}{6}$$. 2. Rappelons que pour résoudre une inéquation de la forme $$\frac{A}{B} \geq C$$, il faut considérer le signe de $$B$$ car on ne peut pas multiplier directement sans savoir si $$B$$ est positif ou négatif. 3. Posons $$y = \frac{4x + 7}{6x + 4}$$ et $$k = \frac{\sqrt{15}}{6}$$. 4. L'inéquation devient $$\frac{4x + 7}{6x + 4} - \frac{\sqrt{15}}{6} \geq 0$$. 5. Mettons au même dénominateur : $$\frac{(4x + 7) \cdot 6 - (6x + 4) \cdot \sqrt{15}}{6(6x + 4)} \geq 0$$ 6. Calculons le numérateur : $$6(4x + 7) - \sqrt{15}(6x + 4) = 24x + 42 - 6x\sqrt{15} - 4\sqrt{15}$$ 7. L'inéquation est donc : $$\frac{24x + 42 - 6x\sqrt{15} - 4\sqrt{15}}{6(6x + 4)} \geq 0$$ 8. Simplifions le numérateur en regroupant les termes en $$x$$ : $$x(24 - 6\sqrt{15}) + (42 - 4\sqrt{15})$$ 9. L'inéquation devient : $$\frac{x(24 - 6\sqrt{15}) + 42 - 4\sqrt{15}}{6(6x + 4)} \geq 0$$ 10. Étudions le signe du dénominateur : $$6(6x + 4)$$. - Le dénominateur est nul pour $$x = -\frac{2}{3}$$. - Pour $$x > -\frac{2}{3}$$, le dénominateur est positif. - Pour $$x < -\frac{2}{3}$$, le dénominateur est négatif. 11. Étudions le signe du numérateur : posons $$N(x) = x(24 - 6\sqrt{15}) + 42 - 4\sqrt{15}$$. 12. Trouvons la racine de $$N(x)$$ : $$x = \frac{-42 + 4\sqrt{15}}{24 - 6\sqrt{15}}$$ 13. Calculons approximativement : - $$\sqrt{15} \approx 3.873$$ - Numérateur : $$-42 + 4 \times 3.873 = -42 + 15.492 = -26.508$$ - Dénominateur : $$24 - 6 \times 3.873 = 24 - 23.238 = 0.762$$ - Donc $$x \approx \frac{-26.508}{0.762} \approx -34.78$$ 14. Résumons : - Numérateur change de signe en $$x \approx -34.78$$ - Dénominateur change de signe en $$x = -\frac{2}{3} \approx -0.6667$$ 15. Construisons le tableau de signes : - Pour $$x < -34.78$$, numérateur négatif, dénominateur négatif, fraction positive. - Pour $$-34.78 < x < -\frac{2}{3}$$, numérateur positif, dénominateur négatif, fraction négative. - Pour $$x > -\frac{2}{3}$$, numérateur positif, dénominateur positif, fraction positive. 16. L'inéquation $$\frac{4x + 7}{6x + 4} \geq \frac{\sqrt{15}}{6}$$ est donc satisfaite pour : $$x \leq -34.78$$ ou $$x > -\frac{2}{3}$$. 17. Enfin, $$x = -\frac{2}{3}$$ est exclu car le dénominateur est nul. 18. Conclusion : $$\boxed{\left(-\infty, -34.78\right] \cup \left(-\frac{2}{3}, +\infty\right)}$$