1. Énonçons le problème : résoudre l'inéquation $f(x) > g(x)$ avec $f(x) = x^2 - 6x - 27$ et $g(x) = 2x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$. 2. Soustrayons $g(x)$ de $f(x)$ pour obtenir une seule expression : $$f(x) - g(x) = (x^2 - 6x - 27) - \left(2x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\right)$$ 3. Simplifions cette expression : $$f(x) - g(x) = x^2 - 6x - 27 - 2x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = -x^2 - \frac{9}{2}x - \frac{53}{2}$$ 4. L'inéquation $f(x) > g(x)$ devient donc : $$-x^2 - \frac{9}{2}x - \frac{53}{2} > 0$$ 5. Multiplions par $-1$ (en inversant le sens de l'inégalité) : $$x^2 + \frac{9}{2}x + \frac{53}{2} < 0$$ 6. Étudions le trinôme $x^2 + \frac{9}{2}x + \frac{53}{2}$ : Calculons le discriminant : $$\Delta = \left(\frac{9}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{53}{2} = \frac{81}{4} - 106 = \frac{81}{4} - \frac{424}{4} = -\frac{343}{4} < 0$$ 7. Comme $\Delta < 0$ et le coefficient de $x^2$ est positif, le trinôme est toujours positif. 8. Donc, $x^2 + \frac{9}{2}x + \frac{53}{2} < 0$ n'a pas de solution. 9. Conclusion : il n'existe aucun $x$ tel que $f(x) > g(x)$. La solution de l'inéquation est l'ensemble vide.