1. Énoncé du problème : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $$ (x^4 - 3)(x^3 + 3) \geq 0 $$. 2. Formule et règles importantes : Pour résoudre une inéquation produit $A \times B \geq 0$, il faut que $A$ et $B$ soient tous deux positifs ou tous deux négatifs. 3. Étape 1 : Trouvons les racines de chaque facteur. - $x^4 - 3 = 0 \Rightarrow x^4 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt[4]{3}$. - $x^3 + 3 = 0 \Rightarrow x^3 = -3 \Rightarrow x = -\sqrt[3]{3}$. 4. Étape 2 : Étudions le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par ces racines. - Pour $x^4 - 3$ : - Si $|x| < \sqrt[4]{3}$, alors $x^4 < 3$ donc $x^4 - 3 < 0$. - Si $|x| > \sqrt[4]{3}$, alors $x^4 - 3 > 0$. - Pour $x^3 + 3$ : - Si $x < -\sqrt[3]{3}$, alors $x^3 < -3$ donc $x^3 + 3 < 0$. - Si $x > -\sqrt[3]{3}$, alors $x^3 + 3 > 0$. 5. Étape 3 : Analysons le produit $(x^4 - 3)(x^3 + 3)$ sur les intervalles : - $(-\infty, -\sqrt[3]{3})$ : $(x^4 - 3) > 0$ (car $|x| > \sqrt[4]{3}$) et $(x^3 + 3) < 0$ donc produit $< 0$. - $(-\sqrt[3]{3}, -\sqrt[4]{3})$ : $(x^4 - 3) < 0$, $(x^3 + 3) > 0$ donc produit $< 0$. - $(-\sqrt[4]{3}, \sqrt[4]{3})$ : $(x^4 - 3) < 0$, $(x^3 + 3) > 0$ donc produit $< 0$. - $(\sqrt[4]{3}, +\infty)$ : $(x^4 - 3) > 0$, $(x^3 + 3) > 0$ donc produit $> 0$. 6. Étape 4 : Inclure les points où le produit est nul : - $x = -\sqrt[3]{3}$, $x = \pm \sqrt[4]{3}$. 7. Conclusion : La solution de l'inéquation est $$ \boxed{[\sqrt[4]{3}, +\infty)} $$. --- Le problème suivant sur les limites n'est pas traité conformément à la consigne GUEST RULE.