1. Énoncé du problème : Trouver l'ensemble des solutions réelles de l'inéquation $$(-7x - 4)(2x - 8) < -7x - 4$$. 2. Formule et règles importantes : Pour résoudre une inéquation produit, on peut tout d'abord déplacer tous les termes d'un côté pour obtenir une inéquation de la forme $$f(x) < 0$$ ou $$f(x) > 0$$. 3. Développons et simplifions l'expression : $$(-7x - 4)(2x - 8) < -7x - 4$$ 4. Développons le produit à gauche : $$-7x \times 2x = -14x^2$$ $$-7x \times (-8) = +56x$$ $$-4 \times 2x = -8x$$ $$-4 \times (-8) = +32$$ Donc : $$-14x^2 + 56x - 8x + 32 < -7x - 4$$ 5. Simplifions les termes en $x$ : $$-14x^2 + 48x + 32 < -7x - 4$$ 6. Ramenons tout à gauche : $$-14x^2 + 48x + 32 + 7x + 4 < 0$$ $$-14x^2 + 55x + 36 < 0$$ 7. Multiplions par $-1$ pour simplifier (attention, cela inverse le sens de l'inégalité) : $$\cancel{-1} \times (-14x^2 + 55x + 36) > \cancel{-1} \times 0$$ $$14x^2 - 55x - 36 > 0$$ 8. Résolvons l'inéquation quadratique $$14x^2 - 55x - 36 > 0$$. 9. Calculons le discriminant $$\Delta$$ : $$\Delta = (-55)^2 - 4 \times 14 \times (-36) = 3025 + 2016 = 5041$$ 10. Racine carrée de $$\Delta$$ : $$\sqrt{5041} = 71$$ 11. Calcul des racines : $$x_1 = \frac{55 - 71}{2 \times 14} = \frac{-16}{28} = -\frac{4}{7}$$ $$x_2 = \frac{55 + 71}{2 \times 14} = \frac{126}{28} = \frac{9}{2}$$ 12. Puisque le coefficient de $$x^2$$ est positif ($14 > 0$), la parabole est tournée vers le haut. 13. L'inéquation $$14x^2 - 55x - 36 > 0$$ est donc vraie pour $$x < -\frac{4}{7}$$ ou $$x > \frac{9}{2}$$. 14. Conclusion : L'ensemble des solutions est $$\left]-\infty; -\frac{4}{7}\right[ \cup \left]\frac{9}{2}; +\infty\right[$$.