1. Énoncé du problème : Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'inéquation $$ (7x + 2)^2 \geq (6x + 8)^2 $$. 2. Formule et règles importantes : Pour résoudre une inéquation de la forme $$ A^2 \geq B^2 $$, on utilise la propriété que $$ A^2 \geq B^2 \iff (A - B)(A + B) \geq 0 $$. 3. Application : Posons $$ A = 7x + 2 $$ et $$ B = 6x + 8 $$. Alors, $$ (7x + 2)^2 \geq (6x + 8)^2 \iff (7x + 2 - (6x + 8))(7x + 2 + 6x + 8) \geq 0 $$ 4. Simplification des facteurs : $$ (7x + 2 - 6x - 8)(7x + 2 + 6x + 8) \geq 0 $$ $$ (x - 6)(13x + 10) \geq 0 $$ 5. Étude du signe du produit : Le produit de deux facteurs est positif ou nul si les deux facteurs sont positifs ou les deux sont négatifs. 6. Trouvons les racines : $$ x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 $$ $$ 13x + 10 = 0 \Rightarrow x = -\frac{10}{13} $$ 7. Étude des intervalles : - Pour $$ x < -\frac{10}{13} $$ : $$ x - 6 < 0 $$ et $$ 13x + 10 < 0 $$ donc produit positif. - Pour $$ -\frac{10}{13} < x < 6 $$ : $$ x - 6 < 0 $$ et $$ 13x + 10 > 0 $$ donc produit négatif. - Pour $$ x > 6 $$ : $$ x - 6 > 0 $$ et $$ 13x + 10 > 0 $$ donc produit positif. 8. Conclusion : L'inéquation est satisfaite pour $$ x \leq -\frac{10}{13} $$ ou $$ x \geq 6 $$. 9. Ensemble solution : $$ \boxed{\left]-\infty; -\frac{10}{13}\right] \cup [6; +\infty[} $$