1. **Exercice 1** **a. Résoudre l'inéquation** $(-1 - x)(4x + 4) < 0$ - On pose $A = -1 - x$ et $B = 4x + 4$. - L'inéquation est $A \times B < 0$, ce qui signifie que $A$ et $B$ ont des signes opposés. - Trouvons les racines : - $A = 0 \Rightarrow -1 - x = 0 \Rightarrow x = -1$ - $B = 0 \Rightarrow 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -1$ - Les racines sont identiques, $x = -1$. - Étudions le signe de $A$ et $B$ autour de $x = -1$ : - Pour $x < -1$, $A = -1 - x > 0$ (car $x$ est plus petit que $-1$), $B = 4x + 4 < 0$. - Pour $x > -1$, $A < 0$, $B > 0$. - Donc $A$ et $B$ ont des signes opposés pour tout $x \neq -1$. - Mais à $x = -1$, le produit est nul. - Conclusion : $(-1 - x)(4x + 4) < 0$ pour tout $x \neq -1$. **b. Résoudre l'équation** $5x^2 = -3x$ - Réécrivons : $5x^2 + 3x = 0$ - Factorisons : $x(5x + 3) = 0$ - Solutions : - $x = 0$ - $5x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$ 2. **Exercice 2** - Fonction $f$ définie sur $[2;5]$ par $f(x) = -5x^2 + 10x - 1$ - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = -10x + 10$$ - Trouvons les points critiques : $$f'(x) = 0 \Rightarrow -10x + 10 = 0 \Rightarrow x = 1$$ - $x=1$ n'appartient pas à $[2;5]$, donc pas de point critique dans l'intervalle. - Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[2;5]$ : - Pour $x > 1$, $f'(x) = -10x + 10 < 0$ - Donc $f$ est décroissante sur $[2;5]$. - Calcul des valeurs aux bornes : - $f(2) = -5(4) + 10(2) - 1 = -20 + 20 - 1 = -1$ - $f(5) = -5(25) + 10(5) - 1 = -125 + 50 - 1 = -76$ - Tableau de variations : $$\begin{array}{c|cc} x & 2 & 5 \\ f'(x) & - & - \\ f(x) & -1 & -76 \\ \end{array}$$ 3. **Exercice 3** $f(x) = 2x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}$ 1. **Forme canonique et sommet** - Forme canonique : $$f(x) = a(x - h)^2 + k$$ avec $a=2$, $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{3}{2}}{2 \times 2} = \frac{3/2}{4} = \frac{3}{8}$ - Calcul de $k = f(h)$ : $$k = 2\left(\frac{3}{8}\right)^2 - \frac{3}{2} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = 2 \times \frac{9}{64} - \frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{18}{64} - \frac{9}{16} + \frac{1}{4}$$ - Simplifions : $$\frac{18}{64} = \frac{9}{32}, \quad \frac{9}{16} = \frac{18}{32}, \quad \frac{1}{4} = \frac{8}{32}$$ - Donc : $$k = \frac{9}{32} - \frac{18}{32} + \frac{8}{32} = \frac{-1}{32}$$ - Forme canonique : $$f(x) = 2\left(x - \frac{3}{8}\right)^2 - \frac{1}{32}$$ - Coordonnées du sommet : $$\left(\frac{3}{8}, -\frac{1}{32}\right)$$ 2. **Zéros de la fonction** - Résolvons $f(x) = 0$ : $$2x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$$ - Coefficients : $a=2$, $b=-\frac{3}{2}$, $c=\frac{1}{4}$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \times 2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$$ - Racines : $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{4} = \frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ **a. Intersection avec l'axe des abscisses** - Oui, le graphe intersecte l'axe des abscisses en $x=\frac{1}{4}$ et $x=\frac{1}{2}$. - Coordonnées des points : $$\left(\frac{1}{4}, 0\right), \quad \left(\frac{1}{2}, 0\right)$$ **b. Tableau des signes** - $a=2 > 0$, parabole tournée vers le haut. - Entre les racines, $f(x) < 0$. - Pour $x < \frac{1}{4}$ ou $x > \frac{1}{2}$, $f(x) > 0$. - Tableau : $$\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & +\infty \\ f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array}$$ 3. **Intersection avec l'axe des ordonnées** - Calcul de $f(0)$ : $$f(0) = 2 \times 0 - \frac{3}{2} \times 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ - Coordonnée : $(0, \frac{1}{4})$ 4. **Esquisse du graphe** - Parabole tournée vers le haut. - Sommet en $\left(\frac{3}{8}, -\frac{1}{32}\right)$. - Zéros en $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{2}$. - Intersection avec l'axe des ordonnées en $(0, \frac{1}{4})$. 4. **Exercice 4** - Coût de production : $$C(q) = 50q^2 + 1000q + 80000$$ avec $q$ en milliers de voitures, $C(q)$ en milliers d'euros. 1. **Coût fixe** - Coût fixe = coût pour $q=0$ : $$C(0) = 80000$$ - Le coût fixe est 80000 milliers d'euros, soit 80 000 000 euros. 2. **Quantité pour $C(q) > 200000$ milliers d'euros** - Résolvons : $$50q^2 + 1000q + 80000 > 200000$$ - Simplifions : $$50q^2 + 1000q + 80000 - 200000 > 0$$ $$50q^2 + 1000q - 120000 > 0$$ - Divisons par 50 : $$q^2 + 20q - 2400 > 0$$ - Calcul du discriminant : $$\Delta = 20^2 - 4 \times 1 \times (-2400) = 400 + 9600 = 10000$$ - Racines : $$q_1 = \frac{-20 - 100}{2} = -60$$ $$q_2 = \frac{-20 + 100}{2} = 40$$ - Parabole tournée vers le haut, donc $q^2 + 20q - 2400 > 0$ pour $q < -60$ ou $q > 40$. - Comme $q$ est entre 0 et 100, la solution est : $$q > 40$$ 3. **Recette pour $q=40$** - Prix de vente par voiture : 6000 euros = 6 milliers d'euros. - Recette : $$R(q) = 6 \times 1000 \times q = 6000q$$ - Pour $q=40$ milliers : $$R(40) = 6000 \times 40 = 240000$$ - En milliers d'euros : 240000 milliers d'euros. 4. **Expression de la recette $R(q)$** - En milliers d'euros : $$R(q) = 6 \times 1000 \times q = 6000q$$ - Ou simplement : $$R(q) = 6q \times 1000 = 6000q$$ - Comme $q$ est en milliers, on peut écrire : $$R(q) = 6q \times 1000 = 6000q$$ ---