1. **Énoncé du problème** : Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : a) $(3 - 2x)(x - 1) < 0$ b) $\frac{3 - 2x}{x - 1} \geq 0$ 2. **Rappel des règles importantes** : - Pour un produit $A \times B < 0$, le produit est négatif si et seulement si un facteur est positif et l'autre négatif. - Pour un quotient $\frac{A}{B} \geq 0$, le quotient est positif ou nul si $A$ et $B$ ont le même signe ou si $A=0$ (et $B \neq 0$). - Attention à exclure les valeurs qui rendent le dénominateur nul. --- ### a) Résolution de $(3 - 2x)(x - 1) < 0$ 3. Trouvons les racines des facteurs : - $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ - $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ 4. Étudions le signe de chaque facteur sur les intervalles délimités par $1$ et $\frac{3}{2}$ : - Pour $x < 1$ : $3 - 2x > 0$ (car $x$ petit), $x - 1 < 0$ donc produit $>0 \times <0 = <0$ ? Non, produit négatif. - Pour $1 < x < \frac{3}{2}$ : $3 - 2x > 0$, $x - 1 > 0$ donc produit $>0 \times >0 = >0$. - Pour $x > \frac{3}{2}$ : $3 - 2x < 0$, $x - 1 > 0$ donc produit $<0 \times >0 = <0$. 5. Résumons le signe du produit : - $(-\infty, 1)$ : produit négatif - $(1, \frac{3}{2})$ : produit positif - $(\frac{3}{2}, +\infty)$ : produit négatif 6. L'inéquation demande $<0$, donc la solution est : $$ (-\infty, 1) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) $$ --- ### b) Résolution de $\frac{3 - 2x}{x - 1} \geq 0$ 7. Trouvons les racines et points d'exclusion : - Numérateur $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ - Dénominateur $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ (exclu car division par zéro impossible) 8. Étudions le signe du numérateur et du dénominateur sur les intervalles : $(-\infty, 1)$, $(1, \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}, +\infty)$ | Intervalle | Numérateur $3-2x$ | Dénominateur $x-1$ | Quotient $\frac{3-2x}{x-1}$ | |------------|-------------------|--------------------|-----------------------------| | $(-\infty,1)$ | $>0$ | $<0$ | $<0$ (positif/negatif) | $(1, \frac{3}{2})$ | $>0$ | $>0$ | $>0$ | $(\frac{3}{2}, +\infty)$ | $<0$ | $>0$ | $<0$ 9. Le quotient est nul quand le numérateur est nul, donc $x=\frac{3}{2}$ est solution. 10. L'inéquation demande $\geq 0$, donc la solution est : $$ \left(1, \frac{3}{2}\right] $$ --- **Réponses finales :** - a) $(-\infty, 1) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)$ - b) $\left(1, \frac{3}{2}\right]$