1. **Énoncé du problème :** - Résoudre l'inéquation $x^4 \geq x^2$ (exercice rr). - Résoudre l'inéquation $3x^3 + 7x^2 + 5x + 1 \geq 0$ (exercice ss). 2. **Exercice rr : Résolution de $x^4 \geq x^2$** - On commence par écrire l'inéquation : $$x^4 \geq x^2$$ - Soustrayons $x^2$ des deux côtés pour tout regrouper à gauche : $$x^4 - x^2 \geq 0$$ - Factorisons l'expression : $$x^2(x^2 - 1) \geq 0$$ - On remarque que $x^2 - 1$ est une différence de carrés : $$x^2(x-1)(x+1) \geq 0$$ - Les racines sont donc $x=0$, $x=1$, et $x=-1$. - Étudions le signe de chaque facteur : - $x^2 \geq 0$ pour tout $x$. - $x-1$ change de signe en $x=1$. - $x+1$ change de signe en $x=-1$. - Construisons un tableau de signes : | Intervalle | $(-\infty,-1)$ | $(-1,0)$ | $(0,1)$ | $(1,+\infty)$ | |--------------|----------------|----------|---------|---------------| | $x^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x-1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x+1$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | | Produit | $+\times - \times - = +$ | $+\times - \times + = -$ | $+\times - \times + = -$ | $+\times + \times + = +$ | - Le produit est positif ou nul sur $(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)$ et nul en $x=0$ aussi. - Comme $x^2$ est nul en $0$, le produit est nul en $x=0$. - Donc la solution est : $$x \in (-\infty,-1] \cup \{0\} \cup [1,+\infty)$$ 3. **Exercice ss : Résolution de $3x^3 + 7x^2 + 5x + 1 \geq 0$** - Écrivons l'inéquation : $$3x^3 + 7x^2 + 5x + 1 \geq 0$$ - Cherchons les racines du polynôme $P(x) = 3x^3 + 7x^2 + 5x + 1$. - Testons les racines rationnelles possibles parmi les diviseurs de 1 : $\pm1$. - Calculons $P(-1)$ : $$3(-1)^3 + 7(-1)^2 + 5(-1) + 1 = -3 + 7 - 5 + 1 = 0$$ - Donc $x=-1$ est une racine. - Divisons $P(x)$ par $(x+1)$ : $$\frac{3x^3 + 7x^2 + 5x + 1}{x+1} = 3x^2 + 4x + 1$$ - Factorisons le trinôme $3x^2 + 4x + 1$ : $$3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)$$ - Donc : $$P(x) = (x+1)^2(3x+1)$$ - Les racines sont $x = -1$ (double racine) et $x = -\frac{1}{3}$. - Étudions le signe de $P(x)$ sur les intervalles délimités par ces racines : | Intervalle | $(-\infty,-1)$ | $(-1,-\frac{1}{3})$ | $(-\frac{1}{3},+\infty)$ | |---------------------|----------------|---------------------|--------------------------| | $(x+1)^2$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $3x+1$ | $-$ | $-$ | $+$ | | Produit $P(x)$ | $+$ | $+$ | $+$ | - Le produit est toujours positif sauf en $x=-1$ où il est nul (double racine) et en $x=-\frac{1}{3}$ où il est nul. - Donc la solution est : $$x \in \mathbb{R}$$ - En effet, $P(x) \geq 0$ pour tout $x$. **Réponses finales :** - Pour rr : $$\boxed{x \in (-\infty,-1] \cup \{0\} \cup [1,+\infty)}$$ - Pour ss : $$\boxed{x \in \mathbb{R}}$$