1. **Énoncé du problème 1 (Exercice 22)** : On considère la fonction $f : [1, +\infty[ \to \mathbb{R}$ définie par $$f(x) = x + 1 - 2\sqrt{x + 1}.$$ **1) Montrer que $f$ est injective.** 2. Pour montrer que $f$ est injective, on suppose que $f(x_1) = f(x_2)$ pour $x_1, x_2 \geq 1$ et on montre que cela implique $x_1 = x_2$. $$f(x_1) = x_1 + 1 - 2\sqrt{x_1 + 1} = x_2 + 1 - 2\sqrt{x_2 + 1} = f(x_2).$$ Cela donne $$x_1 - 2\sqrt{x_1 + 1} = x_2 - 2\sqrt{x_2 + 1}.$$ 3. Réarrangeons : $$x_1 - x_2 = 2(\sqrt{x_1 + 1} - \sqrt{x_2 + 1}).$$ 4. Posons $a = \sqrt{x_1 + 1}$ et $b = \sqrt{x_2 + 1}$, alors $x_1 = a^2 - 1$ et $x_2 = b^2 - 1$, donc $$a^2 - 1 - (b^2 - 1) = 2(a - b) \Rightarrow a^2 - b^2 = 2(a - b).$$ 5. Factorisons le membre de gauche : $$(a - b)(a + b) = 2(a - b).$$ 6. Si $a \neq b$, on peut diviser par $(a - b)$ : $$a + b = 2.$$ 7. Or $a = \sqrt{x_1 + 1} \geq \sqrt{2}$ et $b = \sqrt{x_2 + 1} \geq \sqrt{2}$, donc $$a + b \geq 2\sqrt{2} > 2,$$ ce qui est une contradiction. Donc $a = b$, donc $x_1 = x_2$. **Conclusion :** $f$ est injective. --- 8. **2a) Résoudre $f(x) = -\frac{3}{4}$ dans $\mathbb{R}$.** $$x + 1 - 2\sqrt{x + 1} = -\frac{3}{4}.$$ 9. Posons $t = \sqrt{x + 1} \geq 0$, alors $x + 1 = t^2$, donc $$t^2 - 2t = -\frac{3}{4}.$$ 10. Réécrivons : $$t^2 - 2t + \frac{3}{4} = 0.$$ 11. Cette équation est $$(t - 1)^2 - \frac{1}{4} = 0,$$ soit $$(t - 1)^2 = \frac{1}{4}.$$ 12. Donc $$t - 1 = \pm \frac{1}{2}.$$ 13. Deux solutions pour $t$ : $$t = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \quad \text{ou} \quad t = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$ 14. Comme $t = \sqrt{x + 1}$, on a $$x + 1 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow x = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4},$$ $$x + 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}.$$ 15. Or $x$ doit être dans $[1, +\infty[$, donc seule la solution $x = \frac{5}{4}$ est valide. --- 16. **2b) L'application $f$ est-elle surjective ?** 17. Étudions l'image de $f$ sur $[1, +\infty[$. 18. Posons $g(x) = \sqrt{x + 1}$, alors $$f(x) = x + 1 - 2g(x).$$ 19. Pour $x \geq 1$, $g(x) \geq \sqrt{2}$. 20. Étudions la limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + 1 - 2\sqrt{x + 1}) = +\infty,$$ car $x$ domine $\sqrt{x}$. 21. Étudions la valeur en $x=1$ : $$f(1) = 1 + 1 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \approx 2 - 2 \times 1.414 = 2 - 2.828 = -0.828.$$ 22. Comme $f$ est continue et strictement croissante (car injective et dérivable avec dérivée positive), son image est $[2 - 2\sqrt{2}, +\infty[$. 23. Or $-\frac{3}{4} = -0.75$ est supérieur à $2 - 2\sqrt{2} \approx -0.828$, donc $-\frac{3}{4}$ est dans l'image. 24. Cependant, pour des valeurs plus petites que $2 - 2\sqrt{2}$, $f$ n'atteint pas ces valeurs. **Conclusion :** $f$ n'est pas surjective sur $\mathbb{R}$ car son image est $[2 - 2\sqrt{2}, +\infty[$. --- 25. **Énoncé du problème 2 (Exercice 23)** : On considère la fonction $f : [-\frac{1}{4}, +\infty[ \to [\frac{5}{2}, +\infty[$ définie par $$f(x) = \frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}.$$ **1) Montrer que $f$ est bijective et donner sa bijection réciproque $f^{-1}$.** 26. $f$ est définie sur $[-\frac{1}{4}, +\infty[$ et $\sqrt{x + \frac{1}{4}}$ est bien définie et positive ou nulle. 27. $f$ est strictement croissante car $\sqrt{\cdot}$ est croissante. 28. L'image de $f$ est $$f\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{2} + 0 = \frac{5}{2},$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 29. Donc $f$ est bijective de $[-\frac{1}{4}, +\infty[$ vers $[\frac{5}{2}, +\infty[$. 30. Pour trouver $f^{-1}$, posons $$y = \frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}}.$$ 31. Isolons la racine : $$\sqrt{x + \frac{1}{4}} = y - \frac{5}{2}.$$ 32. Comme $y \geq \frac{5}{2}$, $y - \frac{5}{2} \geq 0$. 33. Élevons au carré : $$x + \frac{1}{4} = (y - \frac{5}{2})^2,$$ $$x = (y - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}.$$ 34. Donc $$f^{-1}(y) = (y - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}.$$ --- 35. **2) Résoudre dans $[\frac{5}{2}, +\infty[$ l'équation $f(x) = f^{-1}(x)$.** 36. Posons $x \geq \frac{5}{2}$, alors $$f(x) = \frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}},$$ $$f^{-1}(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}.$$ 37. L'équation est $$\frac{5}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4}} = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}.$$ 38. Regroupons : $$(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2} = \sqrt{x + \frac{1}{4}}.$$ 39. Simplifions le membre de gauche : $$- \frac{1}{4} - \frac{5}{2} = - \frac{1}{4} - \frac{10}{4} = - \frac{11}{4},$$ $$\Rightarrow (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{11}{4} = \sqrt{x + \frac{1}{4}}.$$ 40. Posons $t = \sqrt{x + \frac{1}{4}} \geq 0$, alors $$x = t^2 - \frac{1}{4}.$$ 41. Remplaçons dans l'équation : $$(t^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2})^2 - \frac{11}{4} = t.$$ 42. Simplifions l'expression dans le carré : $$t^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2} = t^2 - \frac{1}{4} - \frac{10}{4} = t^2 - \frac{11}{4}.$$ 43. L'équation devient $$(t^2 - \frac{11}{4})^2 - \frac{11}{4} = t.$$ 44. Posons $A = t^2 - \frac{11}{4}$, alors $$A^2 - \frac{11}{4} = t.$$ 45. Donc $$A^2 = t + \frac{11}{4}.$$ 46. Or $A = t^2 - \frac{11}{4}$, donc $$(t^2 - \frac{11}{4})^2 = t + \frac{11}{4}.$$ 47. Développons le carré : $$t^4 - 2 \times t^2 \times \frac{11}{4} + \left(\frac{11}{4}\right)^2 = t + \frac{11}{4},$$ $$t^4 - \frac{11}{2} t^2 + \frac{121}{16} = t + \frac{11}{4}.$$ 48. Regroupons tous les termes à gauche : $$t^4 - \frac{11}{2} t^2 - t + \frac{121}{16} - \frac{11}{4} = 0.$$ 49. Simplifions les constantes : $$\frac{11}{4} = \frac{44}{16},$$ $$\frac{121}{16} - \frac{44}{16} = \frac{77}{16}.$$ 50. L'équation finale est $$t^4 - \frac{11}{2} t^2 - t + \frac{77}{16} = 0.$$ 51. Cette équation quartique est difficile à résoudre analytiquement ici, mais on peut chercher des racines positives par essais ou méthodes numériques. 52. On teste $t=1$ : $$1 - \frac{11}{2} - 1 + \frac{77}{16} = 1 - 5.5 - 1 + 4.8125 = -0.6875 \neq 0.$$ 53. On teste $t=2$ : $$16 - \frac{11}{2} \times 4 - 2 + \frac{77}{16} = 16 - 22 - 2 + 4.8125 = -3.1875 \neq 0.$$ 54. On teste $t=3$ : $$81 - \frac{11}{2} \times 9 - 3 + \frac{77}{16} = 81 - 49.5 - 3 + 4.8125 = 33.3125 > 0.$$ 55. Par continuité, il y a une racine entre 2 et 3. 56. Pour la résolution exacte, on peut utiliser une méthode numérique (ex : Newton) pour trouver $t$. 57. Une fois $t$ trouvé, on calcule $$x = t^2 - \frac{1}{4}.$$ **Conclusion :** L'équation $f(x) = f^{-1}(x)$ admet une solution unique dans $[\frac{5}{2}, +\infty[$ correspondant à la racine positive $t$ de l'équation quartique ci-dessus. --- **Résumé :** - Exercice 22 : $f$ est injective, la solution de $f(x) = -\frac{3}{4}$ dans $[1, +\infty[$ est $x = \frac{5}{4}$, $f$ n'est pas surjective sur $\mathbb{R}$. - Exercice 23 : $f$ est bijective, $f^{-1}(y) = (y - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$, et $f(x) = f^{-1}(x)$ a une solution unique dans $[\frac{5}{2}, +\infty[$ déterminée numériquement.