1. **Planteamiento del problema:**
Se tiene la interacción entre tres industrias P, Q y R con la tabla dada que muestra las demandas internas entre industrias, demandas finales y producción total.
2. **Construcción de la matriz de insumo-producto:**
La matriz de insumo-producto $A$ se construye dividiendo cada elemento de la matriz de insumos internos entre la producción total de la industria correspondiente (columna).
\[
A = \begin{bmatrix}
\frac{20}{100} & \frac{0}{200} & \frac{40}{200} \\
\frac{40}{100} & \frac{40}{200} & \frac{100}{200} \\
\frac{0}{100} & \frac{80}{200} & \frac{40}{200}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.2 & 0 & 0.2 \\
0.4 & 0.2 & 0.5 \\
0 & 0.4 & 0.2
\end{bmatrix}
\]
3. **Determinar las nuevas producciones:**
Sea $x = \begin{bmatrix}x_P \\ x_Q \\ x_R\end{bmatrix}$ el vector de producción total y $d = \begin{bmatrix}70 \\ 50 \\ 120\end{bmatrix}$ el vector de demandas finales nuevas.
La relación es:
$$x = Ax + d$$
Reordenando:
$$x - Ax = d \Rightarrow (I - A)x = d$$
Calculamos $I - A$:
\[
I - A = \begin{bmatrix}
1-0.2 & 0-0 & 0-0.2 \\
0-0.4 & 1-0.2 & 0-0.5 \\
0-0 & 0-0.4 & 1-0.2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.8 & 0 & -0.2 \\
-0.4 & 0.8 & -0.5 \\
0 & -0.4 & 0.8
\end{bmatrix}
\]
4. **Resolver el sistema $(I - A)x = d$:**
\[
\begin{bmatrix}
0.8 & 0 & -0.2 \\
-0.4 & 0.8 & -0.5 \\
0 & -0.4 & 0.8
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_P \\ x_Q \\ x_R\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}70 \\ 50 \\ 120\end{bmatrix}
\]
Resolviendo por sustitución o método matricial:
De la primera ecuación:
$$0.8x_P - 0.2x_R = 70$$
De la tercera ecuación:
$$-0.4x_Q + 0.8x_R = 120$$
De la segunda ecuación:
$$-0.4x_P + 0.8x_Q - 0.5x_R = 50$$
Despejamos $x_P$ de la primera:
$$0.8x_P = 70 + 0.2x_R \Rightarrow x_P = \frac{70 + 0.2x_R}{0.8} = \frac{70}{0.8} + \frac{0.2}{0.8}x_R = 87.5 + 0.25x_R$$
Despejamos $x_Q$ de la tercera:
$$-0.4x_Q = 120 - 0.8x_R \Rightarrow x_Q = \frac{0.8x_R - 120}{0.4} = 2x_R - 300$$
Sustituimos $x_P$ y $x_Q$ en la segunda:
$$-0.4(87.5 + 0.25x_R) + 0.8(2x_R - 300) - 0.5x_R = 50$$
Simplificamos:
$$-35 - 0.1x_R + 1.6x_R - 240 - 0.5x_R = 50$$
$$(-35 - 240) + (-0.1x_R + 1.6x_R - 0.5x_R) = 50$$
$$-275 + 1.0x_R = 50$$
$$1.0x_R = 325 \Rightarrow x_R = 325$$
Ahora calculamos $x_P$:
$$x_P = 87.5 + 0.25(325) = 87.5 + 81.25 = 168.75$$
Y $x_Q$:
$$x_Q = 2(325) - 300 = 650 - 300 = 350$$
5. **Calcular los insumos primarios:**
Los insumos primarios se calculan con:
$$\text{Insumos primarios} = x - Ax$$
Calculamos $Ax$:
$$Ax = \begin{bmatrix}0.2 & 0 & 0.2 \\
0.4 & 0.2 & 0.5 \\
0 & 0.4 & 0.2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}168.75 \\ 350 \\ 325\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.2(168.75) + 0 + 0.2(325) \\
0.4(168.75) + 0.2(350) + 0.5(325) \\
0 + 0.4(350) + 0.2(325)\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}33.75 + 65 \\
67.5 + 70 + 162.5 \\
0 + 140 + 65\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}98.75 \\
300 \\
205\end{bmatrix}$$
Entonces:
$$\text{Insumos primarios} = \begin{bmatrix}168.75 \\
350 \\
325\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}98.75 \\
300 \\
205\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}70 \\
50 \\
120\end{bmatrix}$$
**Respuesta final:**
- Matriz de insumo-producto:
$$A = \begin{bmatrix}0.2 & 0 & 0.2 \\
0.4 & 0.2 & 0.5 \\
0 & 0.4 & 0.2\end{bmatrix}$$
- Nuevas producciones:
$$x_P = 168.75, \quad x_Q = 350, \quad x_R = 325$$
- Insumos primarios:
$$70, \quad 50, \quad 120$$
Insumo Producto 99711E
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