1. O problema pede para fazer uma interpolação polinomial usando os pontos dados $(-1,1)$, $(1,1)$ e $(3,-7)$ e avaliar o polinômio em $x=0$. 2. Usaremos o método de interpolação polinomial de Lagrange, que constrói o polinômio como $$P(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$$ onde $$L_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$ 3. Para os pontos dados, temos $n=2$ e os pontos: $x_0=-1$, $y_0=1$; $x_1=1$, $y_1=1$; $x_2=3$, $y_2=-7$. 4. Calculamos os polinômios base de Lagrange: $$L_0(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(-1 - 1)(-1 - 3)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(-2)(-4)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{8}$$ $$L_1(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(1 + 1)(1 - 3)} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{2 \times (-2)} = -\frac{(x + 1)(x - 3)}{4}$$ $$L_2(x) = \frac{(x + 1)(x - 1)}{(3 + 1)(3 - 1)} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{4 \times 2} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{8}$$ 5. O polinômio interpolador é: $$P(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) = 1 \times L_0(x) + 1 \times L_1(x) + (-7) \times L_2(x)$$ 6. Avaliando em $x=0$: $$L_0(0) = \frac{(0 - 1)(0 - 3)}{8} = \frac{(-1)(-3)}{8} = \frac{3}{8}$$ $$L_1(0) = -\frac{(0 + 1)(0 - 3)}{4} = -\frac{(1)(-3)}{4} = \frac{3}{4}$$ $$L_2(0) = \frac{(0 + 1)(0 - 1)}{8} = \frac{(1)(-1)}{8} = -\frac{1}{8}$$ 7. Substituindo: $$P(0) = 1 \times \frac{3}{8} + 1 \times \frac{3}{4} + (-7) \times \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8}$$ 8. Somando as frações: $$\frac{3}{8} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} = \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$$ Resposta final: $P(0) = 2$