1. **Enunciado do problema:** Temos duas funções: $$f(x) = -x^2 + 4$$ $$g(x) = -x + \frac{13}{4}$$ Os pontos A e B são as interseções dos gráficos de $f$ e $g$, com a abcissa de A negativa. Os pontos C e D são as projeções ortogonais de A e B no eixo das abcissas. Queremos determinar as coordenadas de A e B e a área do trapézio $BACD$. 2. **Encontrar os pontos de interseção A e B:** Para isso, igualamos $f(x)$ e $g(x)$: $$-x^2 + 4 = -x + \frac{13}{4}$$ 3. **Rearranjando a equação:** $$-x^2 + 4 + x - \frac{13}{4} = 0$$ $$-x^2 + x + \left(4 - \frac{13}{4}\right) = 0$$ $$-x^2 + x + \frac{16}{4} - \frac{13}{4} = 0$$ $$-x^2 + x + \frac{3}{4} = 0$$ 4. **Multiplicando por $-1$ para facilitar:** $$x^2 - x - \frac{3}{4} = 0$$ 5. **Usando a fórmula quadrática:** $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ onde $a=1$, $b=-1$, $c=-\frac{3}{4}$. 6. **Calculando o discriminante:** $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times \left(-\frac{3}{4}\right) = 1 + 3 = 4$$ 7. **Calculando as raízes:** $$x = \frac{1 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{1 \pm 2}{2}$$ 8. **As soluções são:** $$x_1 = \frac{1 - 2}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$$ $$x_2 = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$ 9. **Encontrar as coordenadas dos pontos A e B:** Para $x_1 = -0.5$: $$y = f(-0.5) = -(-0.5)^2 + 4 = -0.25 + 4 = 3.75$$ Então, $A = (-0.5, 3.75)$. Para $x_2 = 1.5$: $$y = f(1.5) = -(1.5)^2 + 4 = -2.25 + 4 = 1.75$$ Então, $B = (1.5, 1.75)$. 10. **Coordenadas dos pontos C e D (projeções no eixo x):** $$C = (-0.5, 0), \quad D = (1.5, 0)$$ 11. **Calcular a área do trapézio $BACD$:** A base maior é $|x_D - x_C| = 1.5 - (-0.5) = 2$. As bases paralelas são os segmentos verticais $AB$ e $CD$. Mas para área do trapézio, usamos as alturas dos pontos A e B (as ordenadas) e a distância entre C e D como base. Fórmula da área do trapézio: $$\text{Área} = \frac{(\text{altura}_A + \text{altura}_B)}{2} \times \text{base}$$ Aqui: $$\text{altura}_A = 3.75, \quad \text{altura}_B = 1.75, \quad \text{base} = 2$$ 12. **Calculando a área:** $$\text{Área} = \frac{3.75 + 1.75}{2} \times 2 = \frac{5.5}{2} \times 2 = 5.5$$ **Resposta final:** - $A = (-0.5, 3.75)$ - $B = (1.5, 1.75)$ - Área do trapézio $BACD = 5.5$