1. **Énoncé du problème** : Trouver le point d'intersection entre les fonctions $y_1 = 4\sqrt{x}$ et $y_2 = 2x + 2$, puis déterminer les bornes d'intégration entre ces courbes et l'axe des $x$. 2. **Formule et règles importantes** : Pour trouver le point d'intersection, on résout l'équation $y_1 = y_2$. 3. **Calcul du point d'intersection** : $$4\sqrt{x} = 2x + 2$$ Divisons chaque côté par 2 : $$\frac{4\sqrt{x}}{2} = \frac{2x + 2}{2} \Rightarrow 2\sqrt{x} = x + 1$$ Élevons au carré pour éliminer la racine : $$\left(2\sqrt{x}\right)^2 = (x + 1)^2 \Rightarrow 4x = x^2 + 2x + 1$$ Réarrangeons en forme standard : $$0 = x^2 + 2x + 1 - 4x = x^2 - 2x + 1$$ Factorisons : $$0 = (x - 1)(x - 1)$$ Donc, $x = 1$. 4. **Calcul de $y$ au point d'intersection** : En remplaçant $x=1$ dans $y_2$ : $$y = 2(1) + 2 = 4$$ Le point d'intersection est donc $(1, 4)$. 5. **Trouver les bornes d'intégration** : - Intersection de $y_2$ avec l'axe des $x$ : $$0 = 2x + 2 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$$ - Intersection de $y_1$ avec l'axe des $x$ : Comme $y_1 = 4\sqrt{x}$, elle commence à $(0,0)$. 6. **Bornes d'intégration** : - Première borne : de $x = -1$ à $x = 0$ entre $y_2$ et l'axe des $x$. - Deuxième borne : de $x = 0$ à $x = 1$ entre $y_1$ et $y_2$. **Réponse finale** : Le point d'intersection des deux fonctions est $(1, 4)$. Les bornes d'intégration sont $x \in [-1, 0]$ pour la région entre $y_2$ et l'axe des $x$, et $x \in [0, 1]$ pour la région entre $y_1$ et $y_2$.