1. Énoncé du problème : Trouver et expliquer la solution pour le système donné par $ (y - 5)^2 = 4(x + 12) $ et $ y = 1.5x + 4 $. 2. Formule et règles importantes : La première équation est une parabole avec sommet $(-12, 5)$ qui s'ouvre vers la droite. La deuxième équation est une droite avec pente $1.5$ et ordonnée à l'origine $4$. Pour trouver les points d'intersection, on remplace $y$ de la droite dans l'équation de la parabole. 3. Substitution : Remplaçons $y$ par $1.5x + 4$ dans la parabole : $$ (1.5x + 4 - 5)^2 = 4(x + 12) $$ Simplifions l'expression à l'intérieur du carré : $$ (1.5x - 1)^2 = 4(x + 12) $$ 4. Développons le carré : $$ (1.5x - 1)^2 = (1.5x)^2 - 2 \times 1.5x \times 1 + 1^2 = 2.25x^2 - 3x + 1 $$ 5. Écrivons l'équation complète : $$ 2.25x^2 - 3x + 1 = 4x + 48 $$ 6. Regroupons tous les termes d'un côté : $$ 2.25x^2 - 3x + 1 - 4x - 48 = 0 $$ $$ 2.25x^2 - 7x - 47 = 0 $$ 7. Résolvons cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique : $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ avec $a = 2.25$, $b = -7$, $c = -47$. Calculons le discriminant : $$ \Delta = (-7)^2 - 4 \times 2.25 \times (-47) = 49 + 423 = 472 $$ 8. Calculons les racines : $$ x = \frac{7 \pm \sqrt{472}}{4.5} $$ Approximons $\sqrt{472} \approx 21.73$ : $$ x_1 = \frac{7 + 21.73}{4.5} = \frac{28.73}{4.5} \approx 6.38 $$ $$ x_2 = \frac{7 - 21.73}{4.5} = \frac{-14.73}{4.5} \approx -3.27 $$ 9. Trouvons les valeurs correspondantes de $y$ en remplaçant dans $y = 1.5x + 4$ : $$ y_1 = 1.5 \times 6.38 + 4 = 9.57 + 4 = 13.57 $$ $$ y_2 = 1.5 \times (-3.27) + 4 = -4.91 + 4 = -0.91 $$ 10. Conclusion : Les points d'intersection entre la parabole et la droite sont environ $$ (6.38, 13.57) \quad \text{et} \quad (-3.27, -0.91) $$. Ces points représentent les solutions du système donné.