1. **بيان المسألة:** لدينا مجموعتان I و J معطاة بمجالات وشروط مختلفة، ونريد إيجاد تقاطع المجموعتين $I \cap J$ واتحادهما $I \cup J$. 2. **المعطيات:** - $I = ]-3; 11[$ - $J$ معرف بشروط مختلفة في الجدول، منها: - $x \leq 5$ - $8 \leq x \leq 20$ - $|x + \frac{2}{5}| \leq \frac{3}{5}$ 3. **تحليل المجموعتين:** - $I = (-3, 11)$ - $J$ يمكن تمثيلها كمجموعة اتحاد أو تقاطع لمجالات: - $(-\infty, 5]$ - $[8, 20]$ - $|x + \frac{2}{5}| \leq \frac{3}{5} \Rightarrow -\frac{3}{5} \leq x + \frac{2}{5} \leq \frac{3}{5}$ 4. **تبسيط شرط القيمة المطلقة:** $$ -\frac{3}{5} \leq x + \frac{2}{5} \leq \frac{3}{5} \\ \Rightarrow -\frac{3}{5} - \frac{2}{5} \leq x \leq \frac{3}{5} - \frac{2}{5} \\ \Rightarrow -1 \leq x \leq \frac{1}{5} $$ 5. **تحديد $J$ بدلالة المجالات:** $J = (-\infty, 5] \cup [8, 20] \cup [-1, \frac{1}{5}]$ 6. **إيجاد تقاطع $I \cap J$:** - تقاطع $I$ مع $(-\infty, 5]$ هو $(-3, 5]$ - تقاطع $I$ مع $[8, 20]$ هو $[8, 11)$ - تقاطع $I$ مع $[-1, \frac{1}{5}]$ هو $[-1, \frac{1}{5}]$ إذن: $$ I \cap J = (-3, 5] \cup [-1, \frac{1}{5}] \cup [8, 11) $$ 7. **إيجاد اتحاد $I \cup J$:** - $I = (-3, 11)$ - $J = (-\infty, 5] \cup [8, 20] \cup [-1, \frac{1}{5}]$ الاتحاد يغطي: - من $-\infty$ إلى $5$ (لأن $J$ يحتوي $(-\infty, 5]$) - من $5$ إلى $11$ (لأن $I$ يحتوي $(5, 11)$) - من $11$ إلى $20$ (لأن $J$ يحتوي $[8, 20]$ ويشمل $[11, 20]$) إذن: $$ I \cup J = (-\infty, 20] $$ **النتيجة النهائية:** $$ I \cap J = (-3, 5] \cup [-1, \frac{1}{5}] \cup [8, 11) \\ I \cup J = (-\infty, 20] $$